Considera cualquier secuencia de números reales $a_0$ , $a_1$ , $\cdots$ . Si, para todos los pares de enteros no negativos $(m, s)$ , existe algún entero $n \in [m+1, m+2024(s+1)]$ que satisfaga $a_m+a_{m+1}+\cdots+a_{m+s}=a_n+a_{n+1}+\cdots+a_{n+s}$ , di que esta secuencia tiene sumas repetidas . ¿Es una secuencia con sumas repetidas siempre eventualmente periódica?

Sea $d(n)$ el número de divisores de $n$ . Demuestra que existen enteros positivos $m$ y $n$ tales que hay exactamente 2024 ternas de enteros $(i, j, k)$ que satisfacen la siguiente condición: $0<i<j<k \le m$ y $d(n+i)d(n+j)d(n+k)$ es un múltiplo de $ijk$

Un punto $P$ se encuentra dentro de $\usepackage{gensymb} \angle ABC(<90 \degree)$ . Demuestra que existe un punto $Q$ dentro de $\angle ABC$ que satisface la siguiente condición: Para cualesquiera dos puntos $X$ e $Y$ en los rayos $\overrightarrow{BA}$ y $\overrightarrow{BC}$ respectivamente que satisfacen $\angle XPY = \angle ABC$ , se cumple que $\usepackage{gensymb} \angle XQY = 180 \degree - 2 \angle ABC.$

Para un entero positivo $n$ , defina una función $ f_n (x) $ en un intervalo $ [ 0, n+1 ] $ como \[ f_n (x) = ( \sum_{i=1} ^ {n} | x-i | )^2 - \sum_{i=1} ^{n} (x-i)^2 . \] Sea $ a_n $ el valor mínimo de $f_n (x) $. Encuentre el valor de \[ \sum_{n=1}^{11} (-1)^{n+1} a_n . \]

Para todo entero positivo $ n \ge 2 $ , pruebe que $ 2^n -1 $ no puede ser un divisor de $ 3^n -1 $ .

Sea $ABC$ un triángulo y $ P, Q ( \ne A, B, C ) $ son los puntos que se encuentran en los segmentos $ BC , CA $. Sean $ I, J, K $ los incentros de los triángulos $ ABP, APQ, CPQ $. Pruebe que $ PIJK $ es un cuadrilátero convexo.

Sea $ A = \{ 1, 2, 3, \cdots , 12 \} $. Encuentre el número de funciones biyectivas $ f :A \to A $ que satisfacen la siguiente condición: para todo $ i \in A $ , $ f(i)-i $ no es un múltiplo de $ 3 $ .

Hay $n ( \ge 3) $ estudiantes en una clase. Algunos estudiantes son amigos entre sí, y la amistad es siempre mutua. Hay $ s ( \ge 1 ) $ parejas de dos estudiantes que son amigos, y $ t ( \ge 1 ) $ tríos de tres estudiantes que son amigos entre sí. Para dos estudiantes $ x, y $ defina $ d(x,y)$ como el número de estudiantes que son amigos tanto de $ x $ como de $ y $. Pruebe que existen tres estudiantes $ u, v, w $ que son amigos entre sí y satisfacen \[ d(u,v) + d(v,w) + d(w,u) \ge \frac{9t}{s} . \]

Sea $n$ un entero positivo. Suponga que la ecuación diofántica \[z^n = 8 x^{2009} + 23 y^{2009} \] tiene únicamente la solución entera $(x,y,z)=(0,0,0)$. Encuentre el posible valor mínimo de $n$.

Sean $a,b,c$ números reales positivos. Pruebe que \[ \frac{a^3}{c(a^2 + bc)} + \frac{b^3}{a(b^2 + ca)} + \frac{c^3}{b(c^2 +ab )} \ge \frac{3}{2} . \]