Determine todos los enteros positivos libres de cuadrados $n\geq 2$ tal que \[\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}+\cdots+\frac{1}{d_k}\] es un entero positivo, donde $d_1,d_2,\ldots,d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ .

Sea $F$ la frontera y $M,N$ cualquier punto interior de un triángulo $ABC$ . Considera la función $f_{M,N}: F \to R$ definida por $f_{M,N}(P) = MP^2 +NP^2$ y sea $\eta_{M,N}$ el número de puntos $P$ para los cuales $f{M,N}$ alcanza su mínimo. (a) Demuestra que $1 \le \eta_{M,N} \le 3$ . (b) Si $M$ está fijo, encuentra el lugar geométrico de $N$ para el cual $\eta_{M,N} > 1$ . (c) Demuestra que el lugar geométrico de $M$ para el cual hay puntos $N$ tales que $\eta_{M,N} = 3$ es el interior de un hexágono tangente.

La secuencia ( $a_n$ ) se define por $a_1 = a_2 = 1, a_3 = 199$ y $a_{n+1} =\frac{1989+a_na_{n-1}}{a_{n-2}}$ para todo $n \ge 3$ . Demuestra que todos los términos de la secuencia son enteros positivos.

Demuestra que $\sqrt {1+\sqrt {2+\ldots +\sqrt {n}}}<2$ , $\forall n\ge 1$ .

Sean $A,B,C$ puntos variables en los bordes $OX,OY,OZ$ de un ángulo triedro $OXYZ$ , respectivamente. Sean $OA = a, OB = b, OC = c$ y $R$ el radio de la circunsfera $S$ de $OABC$ . Demuestra que si los puntos $A,B,C$ varían de modo que $a+b+c = R+l$ , entonces la esfera $S$ permanece tangente a una esfera fija.

(a) Encuentra el punto $M$ en el plano del triángulo $ABC$ para el cual la suma $MA + MB+ MC$ es mínima. (b) Dado un paralelogramo $ABCD$ cuyos ángulos no exceden los $120^o$ , determina $min \{MA+ MB+NC+ND+ MN | M,N$ están en el plano $ABCD\}$ en términos de los lados y ángulos del paralelogramo.

Sean $a,b,c$ enteros no nulos coprimos. Demuestra que para cualquier entero coprimo $u,v,w$ con $au+bv+cw = 0$ existen enteros $m,n, p$ tales que $$\begin{cases} a = nw- pv \\ b = pu-mw \\ c = mv-nu \end{cases}$$

Sea $F$ el conjunto de todas las funciones $f : N \to N$ que satisfacen $f(f(x))-2 f(x)+x = 0$ para todo $x \in N$ . Determina el conjunto $A =\{ f(1989) | f \in F\}$ .

Sea $w$ un círculo y $AB$ una línea que no interseca a $w$ . Dado un punto $P_{0}$ en $w$ , define la secuencia $P_{0},P_{1},\ldots $ como sigue: $P_{n+1}$ es la segunda intersección con $w$ de la línea que pasa por $B$ y la segunda intersección de la línea $AP_{n}$ con $w$ . Demuestra que para un entero positivo $k$ , si $P_{0}=P_{k}$ para alguna elección de $P_{0}$ , entonces $P_{0}=P_{k}$ para cualquier elección de $P_{0}$ .

Los vértices de un dodecágono regular están coloreados de azul o rojo. Encuentra el número de todos los coloreos posibles que no contienen sub-polígonos monocromáticos.