Encuentra todos los enteros $n \ge 2$ con la propiedad: existe una permutación $(a_1,a2,..., a_n)$ del conjunto $\{1, 2,...,n\}$ de modo que los números $a_1 + a_2 +...+ a_k, k = 1, 2,...,n$ tienen diferentes residuos cuando se dividen por $n$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y $\omega_1, \omega_2$ las circunferencias inscritas de los triángulos $ABC$ y $BCD$ . Demuestra que la línea tangente externa común de $\omega_1$ y $\omega_2$ , la otra que no es $BC$ , es paralela a $AD$

Encuentra todos los enteros positivos $x,y,z$ tales que $7^x + 13^y = 8^z$

Sea $n$ un entero positivo. Determina todos los enteros positivos $p$ para los cuales existen enteros positivos $x_1 < x_2 <...< x_n$ tales que $\frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+ ... +\frac{n}{x_n}= p$

Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ y $P$ un punto en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Demuestra que la línea de Simson de $P$ biseca el segmento $[P H]$ .

Los subconjuntos de tres elementos de un conjunto de siete elementos están coloreados. Si la intersección de dos conjuntos está vacía, entonces tienen diferentes colores. ¿Cuál es el número mínimo de colores necesarios?

Llama al número $\overline{a_1a_2... a_m}$ ( $a_1 \ne 0,a_m \ne 0$ ) el inverso del número $\overline{a_m...a_2a_1}$ . Demuestra que la suma entre un número $n$ y su inverso es un múltiplo de $81$ si y solo si la suma de los dígitos de $n$ es un múltiplo de $81$ .

Si $a, b, c > 0$ satisfacen $a + b + c = 3$ , entonces demuestra que $$\frac{a^2(b + 1)}{ ab + a + b} + \frac{b^2(c + 1)}{ bc + b + c} + \frac{c^2(a + 1)}{ ca + c + a} \ge 2$$

a) Demuestra que para cada entero positivo n, existen $a, b \in R - Z$ tales que el conjunto $A_n = \{a - b, a^2 - b^2, a^3 - b^3,...,a^n - b^n\}$ contiene solo enteros positivos. b) Sean $a$ y $b$ dos números reales tales que el conjunto $A = \{a^k - b^k | k \in N*\}$ contiene solo enteros positivos. Demuestra que $a$ y $b$ son enteros.

En el triángulo acutángulo $ABC$ , con $AB \ne AC$ , $D$ es el pie de la bisectriz del ángulo $A$ , y $E, F$ son los pies de las alturas desde $B$ y $C$ , respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $DBF$ y $DCE$ se intersecan por segunda vez en $M$ . Demuestra que $ME = MF$ .