Demuestre que $(4\cos^29^o – 3) (4 \cos^227^o– 3) = \tan 9^o$ .

$a, b, c, d$ son enteros tales que $ad + bc$ divide a cada uno de $a, b, c$ y $d$ . Demuestre que $ad + bc =\pm 1$

En una noche tormentosa, diez invitados vinieron a una cena y dejaron sus zapatos afuera de la habitación para mantener la alfombra limpia. Después de la cena hubo un apagón, y los invitados se fueron uno por uno, poniéndose al azar, cualquier par de zapatos lo suficientemente grandes para sus pies. (Cada par de zapatos permanece junto). Cualquier invitado que no pudo encontrar un par lo suficientemente grande pasó la noche allí. ¿Cuál es el mayor número de invitados que podrían haber tenido que pasar la noche allí?

Suponga que en una colección dada de $2016$ enteros, la suma de cualquier $1008$ enteros es positiva. Demuestre que la suma de todos los $2016$ enteros es positiva.

Ari elige $7$ bolas al azar de $n$ bolas numeradas de $1$ a $ n$. Si la probabilidad de que no haya dos de las bolas extraídas que tengan números consecutivos es igual a la probabilidad de que haya exactamente un par de números consecutivos en las bolas elegidas, halla $n$.

Considera una permutación $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ de $\{1,2,3,4,5\}$. Decimos que la $5$ - tupla $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ es impecable si para todo $1 \le i<j<k \le 5$, la secuencia $(a_i,a_j,a_k)$ no es una progresión aritmética (en ese orden). Halla el número de $5$ - tuplas impecables.

Para un número natural $n$ , sea $n'$ denote el número obtenido al eliminar los dígitos cero, si los hay. (Por ejemplo, si $n = 260$ , $n' = 26$ , si $n = 2020$ , $n' = 22$ . ),Halla el número de números de $3$ dígitos $n$ para los cuales $n'$ es un divisor de $n$ , diferente de $n$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $P$ un punto en su interior. Sean $P_A,P_B$ y $P_c$ las imágenes de $P$ bajo reflexión en los lados $BC,CA$ , y $AB$, respectivamente. Si $P$ es el ortocentro del triángulo $P_AP_BP_C$ y si el ángulo más grande del triángulo que se puede formar con los segmentos de línea s $ PA, PB$. y $PC$ es $x^o$ , determina el valor de $x$.

Sean $a,b,c$ tres enteros positivos distintos tales que la suma de dos cualesquiera de ellos es un cuadrado perfecto y que tienen la suma mínima $a + b + c$. Halla esta suma.

Un número de cinco dígitos $n= \overline{abcdc}$. Es tal que cuando se divide respectivamente por $2,3,4,5,6$ los restos son $a,b,c,d,c$. ¿Cuál es el resto cuando $n$ se divide por $100$?