Encontrar todas las bases de logaritmos en las que un número real positivo puede ser igual a su logaritmo o demostrar que no existe ninguno.

Demostrar que $\frac{20}{60} <\sin 20^{\circ} < \frac{21}{60}.$

Sea $R$ un conjunto de exactamente $6$ elementos. Un conjunto $F$ de subconjuntos de $R$ se llama una $S$ - familia sobre $R$ si y solo si satisface las siguientes tres condiciones: (i) Para ningunos dos conjuntos $X, Y$ en $F$ es $X \subseteq Y$ ; (ii) Para cualesquiera tres conjuntos $X, Y,Z$ en $F$ , $X \cup Y \cup Z \neq R,$ (iii) $\bigcup_{X \in F} X = R$

Dados números reales $x_1, x_2, \dots , x_n \ (n \geq 2)$ , con $x_i \geq \frac 1n \ (i = 1, 2, \dots, n)$ y con $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 = 1$ , determinar si el producto $P = x_1x_2x_3 \cdots x_n$ tiene un valor máximo y/o mínimo y, en caso afirmativo, dar estos valores.

Demuestra que para cualesquiera vectores $a, b$ en el espacio euclidiano, \[|a \times b|^3 \leq \frac{3 \sqrt 3}{8} |a|^2 |b|^2 |a-b|^2\] Nota. Aquí $\times$ denota el producto vectorial.

Sean $A$ y $E$ vértices opuestos de un octágono. Una rana comienza en el vértice $A.$ Desde cualquier vértice excepto $E$ salta a uno de los dos vértices adyacentes. Cuando llega a $E$ se detiene. Sea $a_n$ el número de caminos distintos de exactamente $n$ saltos que terminan en $E$ . Demuestra que: \[ a_{2n-1}=0, \quad a_{2n}={(2+\sqrt2)^{n-1} - (2-\sqrt2)^{n-1} \over\sqrt2}. \]

Para todo $x$ racional que satisface $0 \leq x < 1$ , la función $f$ está definida por \[f(x)=\begin{cases}\frac{f(2x)}{4},&\mbox{para }0 \leq x < \frac 12,\\ \frac 34+ \frac{f(2x - 1)}{4}, & \mbox{para } \frac 12 \leq x < 1.\end{cases}\] Dado que $x = 0.b_1b_2b_3 \cdots $ es la representación binaria de $x$ , encuentra, con prueba, $f(x)$ .

Si $p$ y $q$ son números naturales tales que \[ \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \ldots -\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}, \] demuestra que $p$ es divisible por $1979$ .

Encuentra los valores reales de $p$ para los cuales la ecuación \[\sqrt{2p+ 1 - x^2} +\sqrt{3x + p + 4} = \sqrt{x^2 + 9x+ 3p + 9}\] en $x$ tiene exactamente dos raíces reales distintas. ( $\sqrt t $ significa la raíz cuadrada positiva de $t$ ) .

Sea $n \geq 2$ un entero. Encontrar la cardinalidad máxima de un conjunto $M$ de pares $(j, k)$ de enteros, $1 \leq j < k \leq n$, con la siguiente propiedad: Si $(j, k) \in M$, entonces $(k,m) \not \in M$ para cualquier $m.$