Dado un entero $k$ . $f(n)$ está definida en el conjunto de enteros negativos y sus valores son enteros. $f(n)$ satisface \[ f(n)f(n+1)=(f(n)+n-k)^2, \] para $n=-2,-3,\cdots$ . Encuentra una expresión de $f(n)$ .

Encuentra todos los números naturales $n (n \geq 2)$ tales que existen reales $a_1, a_2, \dots, a_n$ que satisfacen \[ \{ |a_i - a_j| \mid 1\leq i<j \leq n\} = \left\{1,2,\dots,\frac{n(n-1)}{2}\right\}. \] Sean $A=\{1,2,3,4,5,6\}, B=\{7,8,9,\dots,n\}$ . $A_i(i=1,2,\dots,20)$ contiene ocho números, tres de los cuales son elegidos de $A$ y los otros cinco números de $B$ . $|A_i \cap A_j|\leq 2, 1\leq i<j\leq 20$ . Encuentra el valor mínimo posible de $n$ .

Desde un punto $P$ fuera de un círculo se dibujan dos tangentes al círculo que tocan en $A$ y $B$. Se dibuja una línea secante que interseca al círculo en los puntos $C$ y $D$, con $C$ entre $P$ y $D$. Se elige un punto $Q$ en la cuerda $CD$ tal que $\angle DAQ=\angle PBC$. Demuestra que $\angle DBQ=\angle PAC$.

Suponga que $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ son enteros positivos distintos tales que\n\[(n + 1)a_1^n + na_2^n + (n - 1)a_3^n|(n + 1)b_1^n + nb_2^n + (n - 1)b_3^n\]\nse cumple para todos los enteros positivos $n$. Demuestra que existe $k\in N$ tal que $ b_i = ka_i$ para $ i = 1,2,3$.

Hay una baraja de cartas colocadas en cada punto $A_1, A_2, \ldots , A_n$ y $O$, donde $n \geq 3$. Podemos hacer una de las siguientes dos operaciones en cada paso: $1)$ Si hay más de 2 cartas en algunos puntos $A_i$, podemos retirar tres cartas de esa baraja y colocar una en $A_{i-1}, A_{i+1}$ y $O$. (Aquí $A_0=A_n$ y $A_{n+1}=A_1$ ) ; $2)$ Si hay más de o igual a $n$ cartas en el punto $O$, podemos retirar $n$ cartas de esa baraja y colocar una en cada $A_1, A_2, \ldots , A_n$. Muestra que si el número total de cartas es más de o igual a $n^2+3n+1$, podemos hacer que el número de cartas en cada punto sea más de o igual a $n+1$ después de un número finito de pasos.

Sean $m,n\ge 1$ y $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ enteros. Demuestra que existe un subconjunto $T$ de $\mathbb{N}$ tal que\n\[|T| \leq 1+ \frac{a_n-a_1}{2n+1}\]\ny para cada $i \in \{1,2,\ldots , m\}$, existe $t \in T$ y $s \in [-n,n]$, tal que $a_i=t+s$.

Definir la secuencia $a_1, a_2, \ldots$ y $b_1, b_2, \ldots$ como $a_0=1,a_1=4,a_2=49$ y para $n \geq 0$ $$\begin{cases} a_{n+1}=7a_n+6b_n-3, \\ b_{n+1}=8a_n+7b_n-4. \end{cases}$$ Demostrar que para cualquier entero no negativo $n,$ $a_n$ es un cuadrado perfecto.

Considere una tabla de números de $7\times 7$ $ a_{ij} = (i^2 + j)(i + j^2), 1\le i,j\le 7.$ Cuando agregamos arbitrariamente cada término de una progresión aritmética que consta de $7$ enteros al término correspondiente de cierta fila (o columna) a su vez, llámelo una operación. Determine si cada fila de la tabla de números es una progresión aritmética, después de un número finito de operaciones.

Sea $ABCD$ el cuadrilátero inscrito con la circunferencia circunscrita $\omega$. Sea $\zeta$ otro círculo que es internamente tangente a $\omega$ y a las líneas $BC$ y $AD$ en los puntos $M,N$ respectivamente. Sean $I_1,I_2$ los incentros de los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle ABD$. Pruebe que $M,I_1,I_2,N$ son colineales.

Encuentre todos los pares de enteros positivos $ (a,b)$ tales que $ a^2 + b - 1$ es una potencia de un número primo $; a^2 + b + 1$ puede dividir $ b^2 - a^3 - 1,$ pero no puede dividir $ (a + b - 1)^2.$