Demostrar que los dos últimos dígitos de $9^{9^{9}}$ y $9^{9^{9^{9}}}$ son los mismos en representación decimal.

Demostrar que $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le \frac{a+b+c}{2}$ , donde $a,b,c\in\mathbb{R}^{+}$ .

Sea $n\geq3$ un entero positivo. Sean $C_1,C_2,C_3,\ldots,C_n$ círculos unitarios en el plano, con centros $O_1,O_2,O_3,\ldots,O_n$ respectivamente. Si ninguna línea se encuentra con más de dos de los círculos, demuestre que \[ \sum\limits^{}_{1\leq i<j\leq n}{\frac{1}{O_iO_j}}\leq{\frac{(n-1)\pi}{4}}. \]

Encuentre todas las funciones $f$ de los reales a los reales tales que \[ \left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz) \] para todos los reales $x,y,z,t$ .

Sea $n\geq2$ un entero positivo, con divisores $1=d_1<d_2<\,\ldots<d_k=n$ . Demuestre que $d_1d_2+d_2d_3+\,\ldots\,+d_{k-1}d_k$ es siempre menor que $n^2$ , y determine cuándo es un divisor de $n^2$ .

Sea $n$ un entero positivo. Una secuencia de $n$ enteros positivos (no necesariamente distintos) se llama completa si satisface la siguiente condición: para cada entero positivo $k\geq2$, si el número $k$ aparece en la secuencia entonces también lo hace el número $k-1$, y además la primera ocurrencia de $k-1$ viene antes de la última ocurrencia de $k$. Para cada $n$, ¿cuántas secuencias completas hay?

Para $n$ un entero positivo impar, los cuadrados unitarios de un tablero de ajedrez de $n\times n$ se colorean alternativamente de blanco y negro, con las cuatro esquinas coloreadas de negro. Un it tromino es una forma de $L$ formada por tres cuadrados unitarios conectados. ¿Para qué valores de $n$ es posible cubrir todos los cuadrados negros con trominos no superpuestos? Cuando es posible, ¿cuál es el número mínimo de trominos necesarios?

Sea $n$ un entero positivo. Cada punto $(x,y)$ en el plano, donde $x$ e $y$ son enteros no negativos con $x+y<n$, está coloreado de rojo o azul, sujeto a la siguiente condición: si un punto $(x,y)$ es rojo, entonces también lo son todos los puntos $(x',y')$ con $x'\leq x$ e $y'\leq y$. Sea $A$ el número de maneras de elegir $n$ puntos azules con distintas coordenadas $x$, y sea $B$ el número de maneras de elegir $n$ puntos azules con distintas coordenadas $y$. Pruebe que $A=B$.

Demostrar que las ecuaciones funcionales \[f(x + y) = f(x) + f(y),\] \[ \text{and} \qquad f(x + y + xy) = f(x) + f(y) + f(xy) \quad (x, y \in \mathbb R)\] son equivalentes.

Consideramos un punto $P$ en un plano $p$ y un punto $Q \not\in p$. Determina todos los puntos $R$ de $p$ para los cuales \[ \frac{QP+PR}{QR} \] es máximo.