Determine el valor máximo de $\lambda$ tal que si $f(x) = x^3 +ax^2 +bx+c$ es un polinomio cúbico con todas sus raíces no negativas, entonces \[f(x)\geq\lambda(x -a)^3\] para todo $x\geq0$. Encuentre la condición de igualdad.

Sea $m$ un entero positivo. Demuestre que existen enteros $a, b, k$, tales que tanto $a$ como $b$ son impares, $k\geq0$ y \[2m=a^{19}+b^{99}+k\cdot2^{1999}\]

Sean enteros positivos $m,n$ que satisfacen $n=2^m-1$ . $P_n =\{1,2,\cdots ,n\}$ es un conjunto que contiene $n$ puntos en un eje. Un saltamontes en el eje puede saltar de un punto a otro punto adyacente. Encontrar el valor máximo de $m$ que satisface las siguientes condiciones: (a) $x, y$ son dos puntos arbitrarios en $P_n$ ; (b) comenzando en el punto $x$ , el saltamontes salta $2012$ veces y termina en el punto $y$ ; (se le permite al saltamontes viajar $x$ e $y$ más de una vez) (c) hay un número par de maneras para que el saltamontes haga (b).

En $\triangle ABC$ , el punto $D$ está en el lado $AC$ tal que $\angle ABD=\angle C$ . El punto $E$ está en el lado $AB$ tal que $BE=DE$ . $M$ es el punto medio del segmento $CD$ . El punto $H$ es el pie de la perpendicular desde $A$ a $DE$ . Dado $AH=2-\sqrt{3}$ y $AB=1$ , encontrar el tamaño de $\angle AME$ .

Encontrar el menor número natural $n$ , tal que la siguiente desigualdad se cumple : $\sqrt{\dfrac{n-2011}{2012}}-\sqrt{\dfrac{n-2012}{2011}}<\sqrt[3]{\dfrac{n-2013}{2011}}-\sqrt[3]{\dfrac{n-2011}{2013}}$ .

Un entero no negativo $m$ se llama 'número seis-compuesto' si $m$ y la suma de sus dígitos son ambos múltiplos de $6$ . ¿Cuántos 'números seis-compuestos' que son menores que $2012$ hay?

Sean $a, b, c, d$ números reales que satisfacen la desigualdad $a\cos x+b\cos 2x+c\cos 3x+d\cos 4x\le 1$ que se cumple para un número real arbitrario $x$ . Encontrar el valor máximo de $a+b-c+d$ y determinar los valores de $a,b,c,d$ cuando se alcanza ese máximo.

Para un número compuesto $n$ , sea $f(n)$ la suma de los tres divisores más pequeños de $n$ , y $g(n)$ la suma de los dos divisores más grandes de $n$ . Encontrar todos los números compuestos $n$ , tales que $g(n)=(f(n))^m$ ( $m\in N^*$ ).

La circunferencia inscrita $I$ del $\triangle ABC$ es tangente a los lados $AB,BC,CA$ en $D,E,F$ respectivamente. La línea $EF$ intersecta las líneas $AI,BI,DI$ en $M,N,K$ respectivamente. Demostrar que $DM\cdot KE=DN\cdot KF$.

Encontrar una terna $(l, m, n)$ de enteros positivos $(1<l<m<n)$ , tal que $\sum_{k=1}^{l}k, \sum_{k=l+1}^{m}k, \sum_{k=m+1}^{n}k$ formen una secuencia geométrica en orden.