Tenemos $0\le x_i<b$ para $i=0,1,\ldots,n$ y $x_n>0,x_{n-1}>0$. Si $a>b$, y $x_nx_{n-1}\ldots x_0$ representa el número $A$ en base $a$ y $B$ en base $b$, mientras que $x_{n-1}x_{n-2}\ldots x_0$ representa el número $A'$ en base $a$ y $B'$ en base $b$, demostrar que $A'B<AB'$.

Sea un cubo de lado $1$. Demostrar que existe un punto $A$ en la superficie $S$ del cubo tal que todo punto de $S$ puede unirse a $A$ por un camino en $S$ de longitud no mayor que $2$. Demostrar también que hay un punto de $S$ que no se puede unir con $A$ por un camino en $S$ de longitud menor que $2$.

Sea ABC un triángulo con ángulos $\alpha, \beta, \gamma$ conmensurables con $\pi$ . Comenzando desde un punto $P$ interior al triángulo, una bola se refleja en los lados de $ABC$ , respetando la ley de reflexión que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Pruebe que, suponiendo que la bola nunca alcanza ninguno de los vértices $A,B,C$ , el conjunto de todas las direcciones en las que la bola se moverá a través del tiempo es finito. En otras palabras, su camino desde el momento $0$ hasta el infinito consiste en segmentos paralelos a un conjunto finito de líneas.

$M$ es cualquier punto en el lado $AB$ del triángulo $ABC$ . $r,r_1,r_2$ son los radios de los círculos inscritos en $ABC,AMC,BMC$ . $q$ es el radio del círculo en el lado opuesto de $AB$ a $C$ , tocando los tres lados de $AB$ y las extensiones de $CA$ y $CB$ . Similarmente, $q_1$ y $q_2$ . Pruebe que $r_1r_2q=rq_1q_2$.

Encuentre el mayor entero $A$ para el cual en cualquier permutación de los números $1, 2, \ldots , 100$ existen diez números consecutivos cuya suma es al menos $A$.

Resuelva el sistema de ecuaciones simultáneas \begin{align*} v^2+ w^2+ x^2+ y^2 &= 6 - 2u, \ u^2+ w^2+ x^2+ y^2 &= 6 - 2v, \ u^2+ v^2+ x^2+ y^2 &= 6- 2w, \ u^2+ v^2+ w^2+ y^2 &= 6 - 2x, \ u^2+ v^2+ w^2+ x^2 &= 6- 2y. \end{align*}

Sean $x, y, z$ números reales no negativos que satisfacen \[x^2 + y^2 + z^2 = 5 \quad \text{ y } \quad yz + zx + xy = 2.\] ¿Qué valores puede tener el mayor de los números $x^2 -yz, y^2 - xz$ y $z^2 - xy$?

Encuentre para cada valor de $n$ un conjunto de números $p$ para los cuales la siguiente afirmación es verdadera: Cualquier $n$ - gono convexo puede ser dividido en $p$ triángulos isósceles.

En relación con un pentágono convexo $ABCDE$ consideramos el conjunto de diez círculos, cada uno de los cuales contiene tres de los vértices del pentágono en su circunferencia. ¿Es posible que ninguno de estos círculos contenga al pentágono? Pruebe su respuesta.

Los vértices de un cuadrado dado están etiquetados en sentido horario como $A,B,C,D$ . En el lado $AB$ se sitúa un punto $E$ tal que $AE = AB/3$ . Partiendo de un punto arbitrariamente elegido $P_0$ en el segmento $AE$ y yendo en sentido horario alrededor del perímetro del cuadrado, una serie de puntos $P_0, P_1, P_2, \ldots$ se marca en el perímetro tal que $P_iP_{i+1} = AB/3$ para cada $i$ . Quedará claro que cuando $P_0$ se elige en $A$ o en $E$ , entonces algún $P_i$ coincidirá con $P_0$ . ¿También sucede esto posiblemente si $P_0$ se elige de otra manera?