Los números reales $a_0,a_1,a_2,\ldots$ satisfacen $1=a_0\le a_1\le a_2\le\ldots. b_1,b_2,b_3,\ldots$ están definidos por $b_n=\sum_{k=1}^n{{1-{a_{k-1}\over a_k}}\over\sqrt a_k}$ . a.) Demuestre que $0\le b_n<2$ . b.) Dado $c$ que satisface $0\le c<2$, demuestre que podemos encontrar $a_n$ tal que $b_n>c$ para todo $n$ suficientemente grande.

Sea $p$ un número primo. Un número racional $x$, con $0 < x < 1$, se escribe en su forma más simple. El número racional obtenido de $x$ al agregar $p$ tanto al numerador como al denominador difiere de $x$ por $1/p^2$. Determine todos los números racionales $x$ con esta propiedad.

El área de un triángulo es $S$ y la suma de las longitudes de sus lados es $L$ . Pruebe que $36S \leq L^2\sqrt 3$ y dé una condición necesaria y suficiente para la igualdad.

Para $n \in \mathbb N$ , sea $f(n)$ el número de enteros positivos $k \leq n$ que no contienen el dígito $9$ . ¿Existe un número real positivo $p$ tal que $\frac{f(n)}{n} \geq p$ para todos los enteros positivos $n$ ?

Sea un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros que toma el valor $5$ para cinco valores enteros diferentes de $x.$ Pruebe que $p(x)$ no toma el valor $8$ para ningún entero $x.$

Dado un polinomio \[P(x) = ab(a - c)x^3 + (a^3 - a^2c + 2ab^2 - b^2c + abc)x^2 +(2a^2b + b^2c + a^2c + b^3 - abc)x + ab(b + c),\] donde $a, b, c \neq 0$ , pruebe que $P(x)$ es divisible por \[Q(x) = abx^2 + (a^2 + b^2)x + ab\] y concluya que $P(x_0)$ es divisible por $(a + b)^3$ para $x_0 = (a + b + 1)^n, n \in \mathbb N$ .

Dado un triángulo $ABC$ y un plano $\pi$ que no tiene puntos en común con el triángulo, encuentre un punto $M$ tal que el triángulo determinado por los puntos de intersección de las líneas $MA,MB,MC$ con $\pi$ sea congruente al triángulo $ABC$ .

Sea $M$ un punto interior del tetraedro $V ABC$. Denotemos por $A_1,B_1, C_1$ los puntos de intersección de las líneas $MA,MB,MC$ con los planos $VBC,V CA,V AB$, y por $A_2,B_2, C_2$ los puntos de intersección de las líneas $V A_1, VB_1, V C_1$ con los lados $BC,CA,AB$. \n(a) Demostrar que el volumen del tetraedro $V A_2B_2C_2$ no excede un cuarto del volumen de $V ABC$. \n(b) Calcular el volumen del tetraedro $V_1A_1B_1C_1$ como una función del volumen de $V ABC$, donde $V_1$ es el punto de intersección de la línea $VM$ con el plano $ABC$, y $M$ es el baricentro de $V ABC$.

Si $a, b, c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, probar que \[(a + b)(b + c)(c + a) \geq 8(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b).\]

Demostrar que la ecuación \[x^3 - 3 \tan\frac{\pi}{12} x^2 - 3x + \tan\frac{\pi}{12}= 0\] tiene una raíz $x_1 = \tan \frac{\pi}{36}$, y hallar las otras raíces.