Sea $T$ un triángulo no isósceles y $n \ge 4$ un entero. Demuestra que puedes dividir $T$ en $n$ triángulos y dibujar en cada uno de ellos una bisectriz interior de manera que esas $n$ bisectrices sean paralelas.

Un rectángulo se divide en $n^2$ rectángulos más pequeños por $n - 1$ líneas horizontales y $n - 1$ líneas verticales. Entre esos rectángulos hay exactamente $5660$ que no son congruentes. ¿Para qué valor mínimo de $n$ esto es posible?

Un entero $n$ se llama apocalíptico si la suma de $6$ divisores positivos diferentes de $n$ da $3528$. Por ejemplo, $2012$ es apocalíptico, porque tiene seis divisores, $1$, $2$, $4$, $503$, $1006$ y $2012$, que suman $3528$. Encuentra el número apocalíptico positivo más pequeño.

¿Para qué dígitos $a$ existen enteros $n \geq 4$ tales que cada dígito de $\frac{n(n+1)}{2}$ es igual a $a \ ?$

Dados $100$ puntos coplanarios, no tres colineales, demuestre que a lo sumo el $70\%$ de los triángulos formados por los puntos tienen todos los ángulos agudos.

Sean los números $1, 2, \ldots , n^2$ escritos en las celdas de un tablero cuadrado de $n \times n$ de modo que las entradas en cada columna estén dispuestas de forma creciente. ¿Cuáles son las sumas más pequeñas y más grandes posibles de los números en la $k^{th}$ fila? ( $k$ un entero positivo, $1 \leq k \leq n$ . )

Se da un agujero cuadrado de profundidad $h$ cuya base es de longitud $a$. Un perro está atado al centro del cuadrado en el fondo del agujero por una cuerda de longitud $L >\sqrt{2a^2+h^2}$ , y camina sobre el suelo alrededor del agujero. Los bordes del agujero son lisos, de modo que la cuerda puede deslizarse libremente a lo largo de él. Encuentre la forma y el área del territorio accesible al perro (cuyo tamaño se desprecia).

Una tortuga huye de un OVNI con una velocidad de $0.2 \ m/s$. El OVNI vuela a $5$ metros sobre el suelo, con una velocidad de $20 \ m/s$. La trayectoria del OVNI es una línea quebrada, donde después de volar en un trayecto recto de longitud $\ell$ (en metros) puede girar a través de cualquier ángulo agudo $\alpha$ tal que $\tan \alpha < {\ell\over 1000}$. Cuando el centro del OVNI se acerca a $13$ metros de la tortuga, atrapa a la tortuga. Demuestre que para cualquier posición inicial el OVNI puede atrapar a la tortuga.

Sean $P,Q,R$ polinomios y sea $S(x) = P(x^3) + xQ(x^3) + x^2R(x^3)$ un polinomio de grado $n$ cuyas raíces $x_1,\ldots, x_n$ son distintas. Construya con la ayuda de los polinomios $P,Q,R$ un polinomio $T$ de grado $n$ que tenga las raíces $x_1^3 , x_2^3 , \ldots, x_n^3.$

Un cuadrado $ABCD$ se divide en $(n - 1)^2$ cuadrados congruentes, con lados paralelos a los lados del cuadrado dado. Considere la cuadrícula de todas las $n^2$ esquinas obtenidas de esta manera. Determine todos los enteros $n$ para los cuales es posible construir una parábola no degenerada con su eje paralelo a un lado del cuadrado y que pasa por exactamente $n$ puntos de la cuadrícula.