Encuentre el entero más pequeño $n$ que satisfaga la siguiente condición: sin importar cómo se coloreen los vértices de un $n$ - gono regular con rojo, amarillo o azul, siempre se puede encontrar un trapecio isósceles cuyos vértices sean del mismo color.

Sea $A$ un subconjunto infinito de $\mathbb{N}$ , y $n$ un entero fijo. Para cualquier primo $p$ que no divide a $n$ , hay infinitos elementos de $A$ no divisibles por $p$ . Demuestre que para cualquier entero $m >1, (m,n) =1$ , existen finitamente muchos elementos de $A$ , tales que su suma es congruente a 1 módulo $m$ y congruente a 0 módulo $n$ .

Suponga que $f(x)=x^2+a$ . Defina $f^1(x)=f(x)$ , $f^n(x)=f(f^{n-1}(x))$ , $n=2, 3, \cdots$ , y sea $M=\{a\in\mathbb{R}| |f^n(0)|\le 2, \text{para cualquier } n\in\mathbb{N}\} $ . Pruebe que $M=[-2, \frac{1}{4}]$ .

Sea $2006$ expresado como la suma de cinco enteros positivos $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ , y $S=\sum_{1\le i<j\le 5}x_ix_j$ . ¿Qué valor de $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ maximiza $S$ ? Encuentre, con prueba, el valor de $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ que minimiza $S$ si $|x_i-x_j|\le 2$ para cualquier $1\le i$ , $j\le 5$ .

Dado un entero $n\ge 2$ , defina $M_0 (x_0, y_0)$ como un punto de intersección de la parábola $y^2=nx-1$ y la línea $y=x$ . Pruebe que para cualquier entero positivo $m$ , existe un entero $k\ge 2$ tal que $(x^m_0, y^m_0)$ es un punto de intersección de $y^2=mx-1$ y la línea $y=x$ .

Suponga que hay 8 bolas blancas y 2 bolas rojas en un paquete. Cada vez que se saca una bola, se reemplaza por una blanca. Encuentre la probabilidad de que la última bola roja se extraiga en el cuarto sorteo.

Encuentre el número de soluciones reales para la ecuación $(x^{2006}+1)(1+x^2+x^4+\ldots +x^{2004})=2006x^{2005}$

Suponga que cuatro bolas de hierro macizo se colocan en un cilindro con un radio de 1 cm, de modo que cada dos de las cuatro bolas sean tangentes entre sí, y las dos bolas en la capa inferior son tangentes a la base del cilindro. Ahora ponga agua en el cilindro. Encuentre, en $\text{cm}^2$ , el volumen de agua necesario para sumergir todas las bolas.

Suponga que los puntos $F_1, F_2$ son los focos izquierdo y derecho de la elipse $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ respectivamente, y el punto $P$ está en la línea $l:$ , $x-\sqrt{3} y+8+2\sqrt{3}=0$ . Encuentre el valor de la razón $\frac{|PF_1|}{|PF_2|}$ cuando $\angle F_1PF_2$ alcanza su valor máximo.

Sea el número complejo $z = (a+\cos\theta)+(2a-\sin \theta)i$ . Encuentre el rango del número real $a$ si $|z|\ge 2$ para cualquier $\theta\in \mathbb{R}$ .