En $\triangle ABC$ , demuestre que \[\frac{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}}{\sqrt{3}}\geq\sqrt[6]{tan^2\frac{A}{2}+tan^2\frac{B}{2}+tan^2\frac{C}{2}}.\]

Determine el número de cuádruples ordenados $(x, y, z, u)$ de enteros, tales que $\dfrac{x-y}{x+y}+\dfrac{y-z}{y+z}+\dfrac{z-u}{z+u}>0 \textrm{ y } 1\le x,y,z,u\le 10$.

Se lleva a cabo un torneo entre $n$ equipos, siguiendo tales reglas: a) cada equipo juega contra todos los demás una vez en casa y una vez fuera. (es decir, un calendario de doble round-robin) b) cada equipo puede participar en varios partidos fuera de casa en una semana (de domingo a sábado). c) no hay acuerdo de partido fuera de casa para un equipo, si tiene un partido en casa en la misma semana. Si el torneo termina en 4 semanas, determine el valor máximo de $n$ .

ABC es un triángulo isósceles con AB=AC. El punto D se encuentra en el lado BC. El punto F está dentro de $\triangle$ A BC y se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo ADC. La circunferencia circunscrita del triángulo BDF interseca el lado AB en el punto E. Demuestre que $CD\cdot EF+DF\cdot AE=BD\cdot AF$ .

Para $\theta\in[0, \dfrac{\pi}{2}]$ , la siguiente desigualdad $\sqrt{2}(2a+3)\cos(\theta-\dfrac{\pi}{4})+\dfrac{6}{\sin\theta+\cos\theta}-2\sin2\theta<3a+6$ siempre es verdadera. Determine el rango de $a$ .

Dado un entero positivo $n (n>2004)$ , ponemos 1, 2, 3, … , $n^2$ en cuadrados de un tablero de ajedrez de $n\times n$ con un número en un cuadrado. Un cuadrado se llama 'buen cuadrado' si el cuadrado satisface las siguientes condiciones: 1) Hay al menos 2004 cuadrados que están en la misma fila con el cuadrado tal que cualquier número dentro de estos 2004 cuadrados es menor que el número dentro del cuadrado. 2) Hay al menos 2004 cuadrados que están en la misma columna con el cuadrado tal que cualquier número dentro de estos 2004 cuadrados es menor que el número dentro del cuadrado. Encuentra el valor máximo del número del 'buen cuadrado'.

(1) Determine si existe una secuencia infinita $\{a_n\}$ con términos enteros positivos, tal que $a^2_{n+1}\ge 2a_na_{n+2}$ para cualquier entero positivo $n$ . (2) Determine si existe una secuencia infinita $\{a_n\}$ con términos irracionales positivos, tal que $a^2_{n+1}\ge 2a_na_{n+2}$ para cualquier entero positivo $n$ .

En $\triangle$ A BC, los puntos D, M se encuentran en el lado BC y AB respectivamente, el punto P se encuentra en el segmento AD. La línea DM interseca los segmentos BP, AC (parte extendida), PC (parte extendida) en E, F y N respectivamente. Demuestre que si DE=DF, entonces DM=DN.

Sean los números reales a, b, c que satisfacen $a^2+2b^2+3c^2= \frac{3}{2}$ , demostrar que $3^{-a}+9^{-b}+27^{-c}\ge1$ .

Encuentre todas las ternas $(p,q,n)$ que satisfacen $q^{n+2} \equiv 3^{n+2} (\mod p^n) ,\quad p^{n+2} \equiv 3^{n+2} (\mod q^n)$ donde $p,q$ son primos impares y $n$ es un entero positivo.