Determinar todos los enteros $n\ge1$ para los cuales existen $n$ números reales $x_1,\ldots,x_n$ en el intervalo cerrado $[-4,2]$ tales que se cumplen las siguientes tres condiciones: - la suma de estos números reales es al menos $n$ . - la suma de sus cuadrados es a lo sumo $4n$ . - la suma de sus cuartas potencias es al menos $34n$ .

Un conjunto de líneas en el plano está en posición general si no hay dos paralelas y no hay tres que pasen por el mismo punto. Un conjunto de líneas en posición general corta el plano en regiones, algunas de las cuales tienen un área finita; llamamos a estas sus regiones finitas . Demuestra que para todo $n$ suficientemente grande , en cualquier conjunto de $n$ líneas en posición general es posible colorear al menos $\sqrt{n}$ líneas de azul de tal manera que ninguna de sus regiones finitas tenga un borde completamente azul. Nota : Los resultados con $\sqrt{n}$ reemplazado por $c\sqrt{n}$ recibirán puntos dependiendo del valor de la constante $c$ .

Para cada entero positivo $n$ , el Banco de Ciudad del Cabo emite monedas de denominación $\frac1n$ . Dada una colección finita de tales monedas (de denominaciones no necesariamente diferentes) con un valor total de a lo sumo $99+\frac12$ , demuestra que es posible dividir esta colección en $100$ o menos grupos, de tal manera que cada grupo tenga un valor total de a lo sumo $1$ .

Sean $P$ y $Q$ en el segmento $BC$ de un triángulo acutángulo $ABC$ tal que $\angle PAB=\angle BCA$ y $\angle CAQ=\angle ABC$ . Sean $M$ y $N$ los puntos en $AP$ y $AQ$ , respectivamente, tales que $P$ es el punto medio de $AM$ y $Q$ es el punto medio de $AN$ . Demuestra que la intersección de $BM$ y $CN$ está en la circunferencia del triángulo $ABC$ .

El cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$ . El punto $H$ es el pie de la perpendicular de $A$ a $BD$ . Los puntos $S$ y $T$ están en los lados $AB$ y $AD$ , respectivamente, tales que $H$ está dentro del triángulo $SCT$ y \[ \angle CHS - \angle CSB = 90^{\circ}, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^{\circ}. \] Demuestra que la línea $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $TSH$ .

Sea $n \ge 2$ un entero. Considere un tablero de ajedrez de $n \times n$ que consta de $n^2$ cuadrados unitarios. Una configuración de $n$ torres en este tablero es pacífica si cada fila y cada columna contiene exactamente una torre. Encuentra el mayor entero positivo $k$ tal que, para cada configuración pacífica de $n$ torres, hay un cuadrado de $k \times k$ que no contiene una torre en ninguno de sus $k^2$ cuadrados unitarios.

Sean $a_0 < a_1 < a_2 < \dots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Demuestra que existe un único entero $n\geq 1$ tal que \[a_n < \frac{a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \leq a_{n+1}.\]

En cada cuadrado de un tablero de $100 \times 100$ se escribe un entero. La operación permitida es elegir cuatro cuadrados que formen la figura o cualquiera de sus reflexiones o rotaciones, y sumar $1$ a cada uno de los cuatro números. El objetivo es, a través de las operaciones permitidas, lograr un tablero con el menor número posible de residuos diferentes módulo $33$. ¿Cuál es el número mínimo que se puede lograr con certeza?

Sean $a \ge 2$ y $n \ge 3$ enteros . Demuestra que uno de los números $a^n+ 1 , a^{n + 1}+ 1 , ... , a^{2 n-2}+ 1$ no comparte ningún divisor impar mayor que $1$ con ninguno de los otros números.

Encuentra todos los números reales $x$ , tales que: \na) $\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor +...+ \lfloor 2012x \rfloor = 2013$ \nb) $\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor +...+ \lfloor 2013x \rfloor = 2014$