Los cinco lados y las cinco diagonales de un pentágono regular se dibujan en una hoja de papel. Dos personas juegan un juego, en el que se turnan para colorear uno de estos diez segmentos de línea. El primer jugador colorea los segmentos de línea de azul, mientras que el segundo jugador colorea los segmentos de línea de rojo. Un jugador no puede colorear un segmento de línea que ya ha sido coloreado. Un jugador gana si es el primero en crear un triángulo en su propio color, cuyos tres vértices también son vértices del pentágono regular. El juego se declara empate si los diez segmentos de línea han sido coloreados sin que un jugador gane. Determinar si el primer jugador, el segundo jugador o ninguno de los dos jugadores puede forzar una victoria.

Llamamos a un entero positivo $q$ un $denominador \quad conveniente$ para un número real $\alpha$ si $\displaystyle |\alpha - \dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{10q}$ para algún entero $p$. Demuestra que si dos números irracionales $\alpha$ y $\beta$ tienen el mismo conjunto de denominadores convenientes, entonces o bien $\alpha+\beta$ o $\alpha- \beta$ es un entero.

Se da un hexágono convexo $ABCDEF$ tal que $AB||DE$ , $BC||EF$ , $CD||FA$. Los puntos $M, N, K$ son puntos comunes de las líneas $BD$ y $AE$ , $AC$ y $DF$ , $CE$ y $BF$ respectivamente. Demuestra que las perpendiculares trazadas desde $M, N, K$ a las líneas $AB, CD, EF$ respectivamente son concurrentes.

Encuentra todos los $k>0$ para los cuales existe una función estrictamente decreciente $g:(0;+\infty)\to(0;+\infty)$ tal que $g(x)\geq kg(x+g(x))$ para todo $x$ positivo.

Hay $60$ ciudades en $Graphland$, donde cada par de ciudades están conectadas por un camino dirigido. Demuestra que podemos colorear cuatro ciudades de rojo y cuatro ciudades de verde, tal que cada camino entre las ciudades verdes y rojas estén dirigidas de rojo a verde.

$a_1,a_2,...,a_{100}$ son una permutación de $1,2,...,100$. $S_1=a_1, S_2=a_1+a_2,...,S_{100}=a_1+a_2+...+a_{100}$. Encuentra el máximo número de cuadrados perfectos de $S_i$.

Un cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo con centro $O$. Sus diagonales se intersecan en $M$. El circuncírculo de $ABM$ interseca los lados $AD$ y $BC$ en $N$ y $K$ respectivamente. Demuestra que las áreas de $NOMD$ y $KOMC$ son iguales.

Sean $x,y,z$ números reales positivos. Demostrar que \[ \sum_{cyclic} \frac{xy}{xy+x^2+y^2} ~\le~ \sum_{cyclic} \frac{x}{2x+z} \]

Decidir si los enteros $1,2,\ldots,100$ se pueden colocar en las celdas $C(i, j)$ de una matriz de $10\times10$ (donde $1\le i,j\le 10$ ) , de modo que se cumplan las siguientes condiciones: i) En cada fila, las entradas suman la misma suma $S$ . ii) En cada columna, las entradas también suman esta suma $S$ . iii) Para cada $k = 1, 2, \ldots, 10$ las diez entradas $C(i, j)$ con $i-j\equiv k\bmod{10}$ suman $S$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $90^\circ \ne \angle A \ne 135^\circ$ . Sean $D$ y $E$ puntos externos al triángulo $ABC$ tales que $DAB$ y $EAC$ son triángulos isósceles con ángulos rectos en $D$ y $E$ . Sea $F = BE \cap CD$ , y sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $DE$ , respectivamente. Demostrar que, si tres de los puntos $A$ , $F$ , $M$ , $N$ son colineales, entonces los cuatro son colineales.