Asuma que $ S=(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ consiste de $ 0$ y $ 1$ y es la secuencia más larga de números, que satisface la siguiente condición: Cada dos secciones de $ 5$ términos sucesivos en la secuencia de números $ S$ son diferentes, i.e., para arbitrarios $ 1\le i<j\le n-4$ , $ (a_i, a_{i+1}, a_{i+2}, a_{i+3}, a_{i+4})$ y $ (a_j, a_{j+1}, a_{j+2}, a_{j+3}, a_{j+4})$ son diferentes. Demostrar que los primeros cuatro términos y los últimos cuatro términos en la secuencia son los mismos.

Asuma que $ \alpha$ y $ \beta$ son dos raíces de la ecuación: $ x^2-x-1=0$ . Sea $ a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$ , $ n=1, 2, \cdots$ . (1) Demuestre que para cualquier entero positivo $ n$ , tenemos $ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ . (2) Hallar todos los enteros positivos $ a$ y $ b$ , $ a<b$ , satisfaciendo $ b \mid a_n-2na^n$ para cualquier entero positivo $ n$ .

Dado un entero positivo $ n$ , hallar todos los enteros $ (a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})$ que satisfacen las siguientes condiciones: $ (1): a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\ge n^2;$ $ (2): a_{1}^2+a_{2}^2+\cdots+a_{n}^2\le n^3+1.$

Dado un trapecio $ ABCD$ con $ AD\parallel BC, E$ es un punto móvil en el lado $ AB,$ sean $ O_{1},O_{2}$ los circuncentros de los triángulos $ AED,BEC$ , respectivamente. Demostrar que la longitud de $ O_{1}O_{2}$ es un valor constante.

Dado un entramado de triángulos equiláteros compuesto por $\frac{n(n+1)}{2}$ puntos (como se muestra en la figura), registre el número de triángulos equiláteros con tres puntos en el entramado como vértices como $f(n)$ . Encuentre una expresión para $f(n)$ .

Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y $c$ la longitud de la hipotenusa. Encuentre el valor mínimo de $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$ .

Suponga que $n$ es un entero positivo y el entero $a$ es la raíz de la ecuación $$x^4+3ax^2+2ax-2\times 3^n=0.$$ Encuentre todos los $n$ y $ a$ que satisfagan las condiciones.

Como se muestra en la figura , se sabe que $ABCD$ es un paralelogramo, $A,B,C$ se encuentran en el círculo $\odot O_1$ , $AD$ y $BD$ intersecan a $\odot O$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente, $C,D,F$ se encuentran en el círculo $\odot O_2$ , $AD$ interseca a $\odot O_2$ en el punto $G$ . Si los radios de los círculos $\odot O_1$ , $\odot O_2$ son $R_1, R_2$ respectivamente, demuestre que $\frac{EG}{AD}=\frac{R_2^2}{R_1^2}$ .

Demuestre que: (1) Existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el factor primo más grande de $n^2+1$ es menor que $n.$ (2) Existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ divide a $n!$ .

La tabla de números triangulares dada es la siguiente: \n\nEntre ellos, los números en la primera fila son $1, 2, 3, ..., 98, 99, 100$ . A partir de la segunda fila, cada número es igual a la suma de los números de la izquierda y la derecha en la fila superior. Encuentre el valor de $M$ .