Sea $I$ el incentro de $\triangle ABC$ con $AB>AC$ . Sea $\Gamma$ el círculo con diámetro $AI$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ interseca a $\Gamma$ en los puntos $A,D$ , con el punto $D$ situado en el $\overarc{AC}$ (que no contiene a $B$ ) . Sea la recta que pasa por $A$ y es paralela a $BC$ interseca a $\Gamma$ en los puntos $A,E$ . Si $DI$ es la bisectriz del ángulo $\angle CDE$ , y $\angle ABC = 33^{\circ}$ , halle el valor de $\angle BAC$ .

Suponga que la secuencia $\{a_n\}$ satisface $a_1=1$ y $a_{2k}=a_{2k-1}+a_k, \quad a_{2k+1}=a_{2k}$ para $k=1,2, \ldots$ Demuestre que $a_{2^n}< 2^{\frac{n^2}{2}}$ para cualquier entero $n \geq 3$ .

Se sabe que los subconjuntos $A_1,A_2, \cdots , A_n$ del conjunto $I=\{1,2,\cdots ,101\}$ satisfacen la siguiente condición $$\text{Para cualquier } i,j \text{ } (1 \leq i < j \leq n) \text{, existe } a,b \in A_i \cap A_j \text{ de modo que } (a,b)=1$$ Determine el entero positivo máximo $n$ . * $(a,b)$ significa $\gcd (a,b)$

En $\triangle ABC$ , $\angle BAC = 60^{\circ}$ , el punto $D$ se encuentra en el lado $BC$ , $O_1$ y $O_2$ son los centros de las circunferencias circunscritas de $\triangle ABD$ y $\triangle ACD$ , respectivamente. Las líneas $BO_1$ y $CO_2$ se intersecan en el punto $P$ . Si $I$ es el incentro de $\triangle ABC$ y $H$ es el ortocentro de $\triangle PBC$ , entonces pruebe que los cuatro puntos $B,C,I,H$ están en la misma circunferencia.

¿Hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $19|1+2^n+3^n+4^n$ ? Justifica tu afirmación.

Dados $a,b,c \in \mathbb{R}$ que satisfacen $a+b+c=a^2+b^2+c^2=1$ , demuestre que $\frac{-1}{4} \leq ab \leq \frac{4}{9}$ .

Para todos los números reales positivos $a,b,c$ , pruebe que $$\frac{a^3+b^3}{ \sqrt{a^2-ab+b^2} } + \frac{b^3+c^3}{ \sqrt{b^2-bc+c^2} } + \frac{c^3+a^3}{ \sqrt{c^2-ca+a^2} } \geq 2(a^2+b^2+c^2)$$

Sea $G$ un grafo simple con $2 \cdot n$ vértices y $n^{2}+1$ aristas. Demuestra que este grafo $G$ contiene un $K_{4}-\text{una arista}$ , esto es, dos triángulos con una arista común.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que la ecuación $x^3+y^3+z^3=n \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot z^2$ tiene soluciones enteras positivas.

Dada una figura convexa en el plano cartesiano que es simétrica con respecto a ambos ejes, construimos un rectángulo $A$ dentro de ella con área máxima (sobre todos los rectángulos posibles). Luego la agrandamos con centro en el centro del rectángulo y razón lambda tal que cubra la figura convexa. Encuentra el lambda más pequeño tal que funcione para todas las figuras convexas.