Tenemos $ n \geq 2$ lámparas $ L_{1}, . . . ,L_{n}$ en una fila, cada una de ellas estando encendida o apagada. Cada segundo modificamos simultáneamente el estado de cada lámpara de la siguiente manera: si la lámpara $ L_{i}$ y sus vecinos (sólo un vecino para $ i = 1$ o $ i = n$ , dos vecinos para otro $ i$ ) están en el mismo estado, entonces $ L_{i}$ se apaga; – de lo contrario, $ L_{i}$ se enciende. Inicialmente todas las lámparas están apagadas excepto la más a la izquierda que está encendida. $ (a)$ Demuestre que hay infinitos enteros $ n$ para los cuales todas las lámparas eventualmente se apagarán. $ (b)$ Demuestre que hay infinitos enteros $ n$ para los cuales las lámparas nunca estarán todas apagadas.

Determine el menor número real $M$ tal que la desigualdad \[|ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})| \leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\] se cumple para todos los números reales $a$ , $b$ y $c$ .

Sean $k$ y $n$ dos enteros positivos. Demostrar que existen enteros positivos $m_1 , \dots , m_k$ tales que \[1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac1{m_1}\right)\cdots \left(1+\frac1{m_k}\right).\]

Nota: El siguiente problema está abierto en el sentido de que actualmente no se conoce ninguna solución. Se pueden otorgar puntos por el progreso en el problema. Un ejemplo de progreso en el problema es un límite no trivial en la secuencia definida a continuación. Para cada entero $n\ge2$ , considere un polígono regular con $2n$ lados, todos de longitud $1$ . Sea $C(n)$ el número de formas de teselar este polígono usando cuadriláteros cuyos lados tienen todos longitud $1$ . Determinar el límite inferior y el límite superior de la secuencia definida por $$\frac1{n^2}\log_2C(n).$$

Cada punto en el plano con coordenadas enteras se colorea de rojo o azul de tal manera que se cumplen las siguientes dos propiedades. Para dos puntos rojos cualesquiera, el segmento de línea que los une no contiene ningún punto azul. Para dos puntos azules cualesquiera que estén a una distancia de $2$ , el punto medio del segmento de línea que los une es azul. Demostrar que si tres puntos rojos son los vértices de un triángulo, entonces el interior del triángulo no contiene ningún punto azul.

Hallar todos los números primos $p,q$ , para los cuales $p^{q+1}+q^{p+1}$ es un cuadrado perfecto.

Maryam etiqueta cada vértice de un tetraedro con la suma de las longitudes de las tres aristas que se encuentran en ese vértice. Luego observa que las etiquetas en los cuatro vértices del tetraedro son todas iguales. Para cada vértice del tetraedro, demostrar que las longitudes de las tres aristas que se encuentran en ese vértice son las tres longitudes de los lados de un triángulo.

Sean $A_1,A_2,\ldots,A_{2017}$ los vértices de un polígono regular con $2017$ lados. Demostrar que existe un punto $P$ en el plano del polígono tal que el vector $$\sum_{k=1}^{2017}k\frac{\overrightarrow{PA}_k}{\left\lVert\overrightarrow{PA}_k\right\rVert^5}$$ es el vector cero. (La notación $\left\lVert\overrightarrow{XY}\right\rVert$ representa la longitud del vector $\overrightarrow{XY}$ . )

Para cada entero positivo $n$ , sea $M(n)$ la matriz de $n\times n$ cuya entrada $(i,j)$ es igual a $1$ si $i+1$ es divisible por $j$ , e igual a $0$ en caso contrario. Demostrar que $M(n)$ es invertible si y sólo si $n+1$ está libre de cuadrados. (Un entero está libre de cuadrados si no es divisible por el cuadrado de un entero mayor que $1$ . )

Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ la secuencia de números reales definida por $a_1=1$ y $$a_m=\frac1{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{m-1}^2}\qquad\text{para }m\ge2.$$ Determinar si existe un entero positivo $N$ tal que $$a_1+a_2+\ldots+a_N>2017^{2017}.$$