Sea $n>1$ un entero y sean $a_0,a_1,\ldots,a_n$ números reales no negativos. Defina $S_k=\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}a_i$ para $k=0,1,\ldots,n$ . Demuestre que \[\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} S_k^2-\frac{1}{n^2}\left(\sum_{k=0}^{n} S_k\right)^2\le \frac{4}{45} (S_n-S_0)^2.\]

Encuentre el mayor entero positivo $m$ con la siguiente propiedad: Para cada permutación $a_1, a_2, \cdots, a_n,\cdots$ del conjunto de enteros positivos, existen enteros positivos $i_1<i_2<\cdots <i_m$ tales que $a_{i_1}, a_{i_2}, \cdots, a_{i_m}$ es una progresión aritmética con una diferencia común impar.

Demuestre que: existe una constante positiva $K$ , y una serie de enteros $\{a_n\}$ , que satisfacen: $(1)$ $0<a_1<a_2<\cdots <a_n<\cdots $ ; $(2)$ Para cualquier entero positivo $n$ , $a_n<1.01^n K$ ; $(3)$ Para cualquier número finito de términos distintos en $\{a_n\}$ , su suma no es un cuadrado perfecto.

Para un entero positivo $N>1$ con factorización única $N=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dotsb p_k^{\alpha_k}$ , definimos \[\Omega(N)=\alpha_1+\alpha_2+\dotsb+\alpha_k.\] Sean $a_1,a_2,\dotsc, a_n$ enteros positivos y $p(x)=(x+a_1)(x+a_2)\dotsb (x+a_n)$ tales que para todos los enteros positivos $k$ , $\Omega(P(k))$ es par. Demuestre que $n$ es un número par.

Para un entero positivo $k\ge 2$ defina $\mathcal{T}_k=\{(x,y)\mid x,y=0,1,\ldots, k-1\}$ como una colección de $k^2$ puntos reticulares en el plano de coordenadas cartesianas. Sea $d_1(k)>d_2(k)>\cdots$ la secuencia decreciente de las distancias distintas entre dos puntos cualesquiera en $T_k$. Suponga que $S_i(k)$ es el número de distancias iguales a $d_i(k)$. Demuestre que para cualesquiera tres enteros positivos $m>n>i$ tenemos $S_i(m)=S_i(n)$.

Sea $A$ un conjunto que consta de 6 puntos en el plano. denotado $n(A)$ como el número de los círculos unitarios que se encuentran en al menos tres puntos de $A$ . Encuentre el máximo de $n(A)$

Sea $P$ un punto dado dentro del triángulo $ABC$. Suponga que $L,M,N$ son los puntos medios de $BC, CA, AB$ respectivamente y \[PL: PM: PN= BC: CA: AB.\] Las extensiones de $AP, BP, CP$ se encuentran con la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $D,E,F$ respectivamente. Demuestre que los circuncentros de $APF, APE, BPF, BPD, CPD, CPE$ son concíclicos.

Sean $n$ y $k$ dos enteros que son mayores que $1$. Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n,c_1,c_2,\ldots,c_m$ números reales no negativos tales que i) $a_1\ge a_2\ge\ldots\ge a_n$ y $a_1+a_2+\ldots+a_n=1$ ; ii) Para cualquier entero $m\in\{1,2,\ldots,n\}$, tenemos que $c_1+c_2+\ldots+c_m\le m^k$. Encuentre el máximo de $c_1a_1^k+c_2a_2^k+\ldots+c_na_n^k$.

Encuentre todos los números reales positivos $r<1$ tales que exista un conjunto $\mathcal{S}$ con las propiedades dadas: i) Para cualquier número real $t$, exactamente uno de $t, t+r$ y $t+1$ pertenece a $\mathcal{S}$ ; ii) Para cualquier número real $t$, exactamente uno de $t, t-r$ y $t-1$ pertenece a $\mathcal{S}$.

Encuentra todos los números primos $p$ , tales que existe un número infinito de enteros positivos $n$ que satisfacen la siguiente condición: $p|n^{ n+1}+(n+1)^n.$