En un triángulo rectángulo $ ABC$ sea $ AD$ la altura trazada a la hipotenusa y sea la línea recta que une los incentros de los triángulos $ ABD, ACD$ intersecta los lados $ AB, AC$ en los puntos $ K,L$ respectivamente. Si $ E$ y $ E_1$ denotan las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ AKL$ respectivamente, demuestra que \[ \frac {E}{E_1} \geq 2. \]

En un triángulo $ ABC,$ elige cualquier punto $ K \in BC, L \in AC, M \in AB, N \in LM, R \in MK$ y $ F \in KL.$ Si $ E_1, E_2, E_3, E_4, E_5, E_6$ y $ E$ denotan las áreas de los triángulos $ AMR, CKR, BKF, ALF, BNM, CLN$ y $ ABC$ respectivamente, demuestra que \[ E \geq 8 \cdot \sqrt [6]{E_1 E_2 E_3 E_4 E_5 E_6}. \]

Sean 'AB' y $CD$ dos cuerdas perpendiculares de un círculo con centro $O$ y radio $r$ y sean $X,Y,Z,W$ denotan el orden cíclico de las cuatro partes en las que el disco se divide así. Encuentra el máximo y el mínimo de la cantidad \[ \frac{A(X) + A(Z)}{A(Y) + A(W)}, \] donde $A(U)$ denota el área de $U.$

La cerradura de una caja fuerte consta de 3 ruedas, cada una de las cuales se puede colocar en 8 posiciones diferentes. Debido a un defecto en el mecanismo de la caja fuerte, la puerta se abrirá si dos de las tres ruedas están en la posición correcta. ¿Cuál es el número más pequeño de combinaciones que se deben probar si se quiere garantizar la posibilidad de abrir la caja fuerte (asumiendo que la 'combinación correcta' no se conoce)?

Sea $Z_{m,n}$ el conjunto de todos los pares ordenados $(i,j)$ con $i \in {1, \ldots, m}$ y $j \in {1, \ldots, n}.$ Además, sea $a_{m,n}$ el número de todos aquellos subconjuntos de $Z_{m,n}$ que no contienen 2 pares ordenados $(i_1,j_1)$ y $(i_2,j_2)$ con $|i_1 - i_2| + |j_1 - j_2| = 1.$ Entonces demuestre, para todos los enteros positivos $m$ y $k,$ que \[ a^2_{m, 2 \cdot k} \leq a_{m, 2 \cdot k - 1} \cdot a_{m, 2 \cdot k + 1}. \]

Sea $ N = \{1,2 \ldots, n\}, n \geq 2.$ Una colección $ F = \{A_1, \ldots, A_t\}$ de subconjuntos $ A_i \subseteq N,$ $ i = 1, \ldots, t,$ se dice que es separadora, si para cada par $ \{x,y\} \subseteq N,$ existe un conjunto $ A_i \in F$ tal que $ A_i \cap \{x,y\}$ contiene sólo un elemento. $ F$ se dice que es cubriente, si cada elemento de $ N$ está contenido en al menos un conjunto $ A_i \in F.$ ¿Cuál es el valor más pequeño $ f(n)$ de $ t,$ tal que existe un conjunto $ F = \{A_1, \ldots, A_t\}$ que es simultáneamente separadora y cubriente?

Si $ n$ recorre todos los enteros positivos, entonces $ f(n) = \left \lfloor n + \sqrt {3n} + \frac {1}{2} \right \rfloor$ recorre todos los enteros positivos omitiendo los términos de la secuencia $ a_n = \left \lfloor \frac {n^2 + 2n}{3} \right \rfloor$.

Si $ n$ recorre todos los enteros positivos, entonces $ f(n) = \left[n + \sqrt {\frac {n}{3}} + \frac {1}{2} \right]$ recorre todos los enteros positivos omitiendo los términos de la secuencia $ a_n = 3 \cdot n^2 - 2 \cdot n.$

Sea $1 \leq k \leq n.$ Considere todas las secuencias finitas de enteros positivos con suma $n.$ Encuentre $T(n,k),$ el número total de términos de tamaño $k$ en todas las secuencias.

Sean $ a$ y $ b$ dos enteros positivos tales que $ a \cdot b + 1$ divide a $ a^{2} + b^{2}$ . Demuestre que $ \frac {a^{2} + b^{2}}{a \cdot b + 1}$ es un cuadrado perfecto.