Suponga que $\alpha_i > 0, \beta_i > 0$ para $1 \leq i \leq n, n > 1$ y que \[ \sum^n_{i=1} \alpha_i = \sum^n_{i=1} \beta_i = \pi. \] Demuestre que \[ \sum^n_{i=1} \frac{\cos(\beta_i)}{\sin(\alpha_i)} \leq \sum^n_{i=1} \cot(\alpha_i). \]

Encuentre el menor número natural $n$ tal que, si el conjunto $ \{1,2, \ldots, n\}$ se divide arbitrariamente en dos subconjuntos no intersecantes, entonces uno de los subconjuntos contiene 3 números distintos tales que el producto de dos de ellos es igual al tercero.

Dados $n$ puntos $A_1, A_2, \ldots, A_n,$ no tres colineales, demuestre que el $n$ - gono $A_1 A_2 \ldots A_n,$ está inscrito en un círculo si y sólo si $A_1 A_2 \cdot A_3 A_n \cdot \ldots \cdot A_{n-1} A_n + A_2 A_3 \cdot A_4 A_n \cdot \ldots A_{n-1} A_n \cdot A_1 A_n + \ldots$ $+ A_{n-1} A_{n-2} \cdot A_1 A_n \cdot \ldots \cdot A_{n-3} A_n$ $= A_1 A_{n-1} \cdot A_2 A_n \cdot \ldots \cdot A_{n-2} A_n$ , donde $XY$ denota la longitud del segmento $XY.$

$ABCD$ es un cuadrilátero. $A'BCD'$ es la reflexión de $ABCD$ en $BC,$ $A''B'CD'$ es la reflexión de $A'BCD'$ en $CD'$ y $A''B''C'D'$ es la reflexión de $A''B'CD'$ en $D'A''.$ Demuestre que; si las líneas $AA''$ y $BB''$ son paralelas, entonces ABCD es un cuadrilátero cíclico.

El entero positivo $n$ tiene la propiedad de que, en cualquier conjunto de $n$ enteros, elegidos entre los enteros $1,2, \ldots, 1988,$ veintinueve de ellos forman una progresión aritmética. Demuestre que $n > 1788.$

Pruebe que los números $A,B$ y $C$ son iguales, donde: - $A=$ número de formas en que podemos cubrir un rectángulo de $2 \times n$ con rectángulos de $2 \times 1$. - $B=$ número de secuencias de unos y doses que suman $n$ - $C= \sum^m_{k=0} \binom{m + k}{2 \cdot k}$ si $n = 2 \cdot m,$ y - $C= \sum^m_{k=0} \binom{m + k + 1}{2 \cdot k + 1}$ si $n = 2 \cdot m + 1.$

Sea $ f(n)$ una función definida en el conjunto de todos los enteros positivos y que tiene sus valores en el mismo conjunto. Suponga que $ f(f(n) + f(m)) = m + n$ para todos los enteros positivos $ n,m.$ Encuentre el valor posible para $ f(1988).$

Considere 2 círculos concéntricos de radios $ R$ y $ r$ ( $ R > r$ ) con centro $ O.$ Fije $ P$ en el círculo pequeño y considere la cuerda variable $ PA$ del círculo pequeño. Los puntos $ B$ y $ C$ se encuentran en el círculo grande; $ B,P,C$ son colineales y $ BC$ es perpendicular a $ AP.$ i.) ¿Para qué valores de $ \angle OPA$ la suma $ BC^2 + CA^2 + AB^2$ es extremal? ii.) ¿Cuáles son las posibles posiciones de los puntos medios $ U$ de $ BA$ y $ V$ de $ AC$ cuando $ \angle OPA$ varía?

En el pentágono convexo $ ABCDE,$ los lados $ BC, CD, DE$ son iguales. Además, cada diagonal del pentágono es paralela a un lado ( $ AC$ es paralela a $ DE$ , $ BD$ es paralela a $ AE$ etc.). Pruebe que $ ABCDE$ es un pentágono regular.

Sean $A_1, A_2, \ldots, A_{29}$ 29 secuencias diferentes de enteros positivos. Para $1 \leq i < j \leq 29$ y cualquier número natural $x,$ definimos $N_i(x) =$ número de elementos de la secuencia $A_i$ que son menores o iguales a $x,$ y $N_{ij}(x) =$ número de elementos de la intersección $A_i \cap A_j$ que son menores o iguales a $x.$ Se da para todo $1 \leq i \leq 29$ y todo número natural $x,$ \[ N_i(x) \geq \frac{x}{e}, \] donde $e = 2.71828 \ldots$ Pruebe que existe al menos un par $i,j$ ( $1 \leq i < j \leq 29$ ) tal que \[ N_{ij}(1988) > 200. \]