Sea $p$ un primo impar y $\{u_i\}_{i\ge 0}$ una secuencia entera. Sea $v_n=\sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i} p^iu_i$ donde $C_n^i$ denota los coeficientes binomiales. Si $v_n=0$ se cumple para infinitos $n$ , pruebe que se cumple para todo entero positivo $n$ .

En $\triangle ABC$ , $AB=AC>BC$ , los puntos $O,H$ son el circuncentro y el ortocentro de $\triangle ABC$ respectivamente , $G $ es el punto medio del segmento $AH$ , $BE$ es la altura sobre $AC$ . Demuestre que si $OE\parallel BC$ , entonces $H$ es el incentro de $\triangle GBC$ .

Una secuencia $\{a_n\}$ se define recursivamente por $a_1=\frac{1}{2}, $ y para $n\ge 2,$ $0<a_n\leq a_{n-1}$ y \[a_n^2(a_{n-1}+1)+a_{n-1}^2(a_n+1)-2a_na_{n-1}(a_na_{n-1}+a_n+1)=0.\] $(1)$ Determine la fórmula general de la secuencia $\{a_n\};$ $(2)$ Sea $S_n=a_1+\cdots+a_n.$ Pruebe que para $n\ge 1,$ $\ln\left(\frac{n}{2}+1\right)<S_n<\ln(n+1).$

Sea $n$ un entero positivo. $f(n)$ denota el número de números de $n$ dígitos $\overline{a_1a_2\cdots a_n}$ (números de onda) que satisfacen las siguientes condiciones : (i) para cada $a_i \in\{1,2,3,4\}$ , $a_i \not= a_{i+1}$ , $i=1,2,\cdots$ ; (ii) para $n\ge 3$ , $(a_i-a_{i+1})(a_{i+1}-a_{i+2})$ es negativo, $i=1,2,\cdots$ . (1) Encuentre el valor de $f(10)$ ; (2) Determine el resto de $f(2008)$ al dividirlo por $13$ .

El Capitán Jack y sus piratas saquearon seis cofres de tesoro $(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6)$ . Cada cofre $A_i$ contiene $a_i$ monedas de oro, y todos los $a_i$ son distintos por pares $(i=1,2,\cdots ,6)$ . Colocan todos los cofres de acuerdo con un diseño (ver el adjunto) y comienzan a sacar alternativamente un cofre a la vez entre el capitán y un pirata que sirve como delegado de los hombres del capitán. Una regla debe cumplirse durante el juego: solo se pueden sacar aquellos cofres que no sean adyacentes a otros dos o más cofres. El capitán ganará el juego si las monedas de oro que obtiene no son menores que las de sus hombres al final. Sea concedido al capitán tomar el cofre en primer lugar, ¿existe una cierta estrategia para que asegure su victoria?

El círculo $I$ es el incírculo de $\triangle ABC$ . El círculo $I$ es tangente a los lados $BC$ y $AC$ en $M,N$ respectivamente. $E,F$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ respectivamente. Las líneas $EF, BI$ se intersecan en $D$ . Demuestre que $M,N,D$ son colineales.

Sea $\lambda$ un número real positivo. La desigualdad $|\lambda xy+yz|\le \dfrac{\sqrt5}{2}$ se cumple para números reales arbitrarios $x, y, z$ que satisfacen $x^2+y^2+z^2=1$ . Encuentre el valor máximo de $\lambda$ .

Sean $m, n$ enteros positivos $(m, n>=2)$ . Dado un conjunto $A$ de $n$ elementos de enteros $(A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\})$ , para cada par de elementos $a_i, a_j(j>i)$ , hacemos una diferencia por $a_j-a_i$ . Todas estas $C^2_n$ diferencias forman una secuencia ascendente llamada 'secuencia derivada' del conjunto $A$ . Sea $\bar{A}$ denota la secuencia derivada del conjunto $A$ . Sea $\bar{A}(m)$ denota el número de términos divisibles por $m$ en $\bar{A}$ . Demuestre que $\bar{A}(m)\ge \bar{B}(m)$ donde $A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$ y $B=\{1,2,\cdots ,n\}$ .

En $\triangle ABC$ , el lado $BC>AB$ . El punto $D$ se encuentra en el lado $AC$ tal que $\angle ABD=\angle CBD$ . Los puntos $Q,P$ se encuentran en la línea $BD$ tales que $AQ\bot BD$ y $CP\bot BD$ . $M,E$ son los puntos medios de los lados $AC$ y $BC$ respectivamente. El círculo $O$ es la circunferencia circunscrita de $\triangle PQM$ que interseca el lado $AC$ en $H$ . Demuestre que $O,H,E,M$ se encuentran en un círculo.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión que satisface: $a_1=1$ y $a_{n+1}=2a_n+n\cdot (1+2^n),(n=1,2,3,\cdots)$ . Determine la fórmula del término general de $\{a_n\}$ .