Sea $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n\}$ un conjunto con $2n$ elementos distintos, y $B_i\subseteq A$ para cualquier $i=1,2,\cdots,m.$ Si $\bigcup_{i=1}^m B_i=A,$ decimos que la $m-$ tupla ordenada $(B_1,B_2,\cdots,B_m)$ es una $m-$ cobertura ordenada de $A.$ Si $(B_1,B_2,\cdots,B_m)$ es una $m-$ cobertura ordenada de $A,$ y para cualquier $i=1,2,\cdots,m$ y cualquier $j=1,2,\cdots,n,$ $\{a_j,b_j\}$ no es un subconjunto de $B_i,$ entonces decimos que la $m-$ tupla ordenada $(B_1,B_2,\cdots,B_m)$ es una $m-$ cobertura ordenada de $A$ sin pares. Defina $a(m,n)$ como el número de $m-$ coberturas ordenadas de $A,$ y $b(m,n)$ como el número de $m-$ coberturas ordenadas de $A$ sin pares. $(1)$ Calcule $a(m,n)$ y $b(m,n).$ $(2)$ Sea $m\geq2,$ y hay al menos un entero positivo $n,$ tal que $\dfrac{a(m,n)}{b(m,n)}\leq2021,$ Determine los valores máximos posibles de $m.$

Para un entero positivo $k,$ decimos que es un entero Tauro si podemos eliminar un elemento del conjunto $M_k=\{1,2,\cdots,k\},$ tal que la suma de los $k-1$ elementos restantes es un cuadrado perfecto positivo. Por ejemplo, $7$ es un entero Tauro, porque si eliminamos $3$ de $M_7=\{1,2,3,4,5,6,7\},$ la suma de los $6$ elementos restantes es $25,$ que es un cuadrado perfecto positivo. $(1)$ Determine si $2021$ es un entero Tauro. $(2)$ Para un entero positivo $n,$ determine el número de enteros Tauro en $\{1,2,\cdots,n\}.$

Sean $a,b,c\geq 0$ y $a^2+b^2+c^2\leq 1.$ Pruebe que $$\frac{a}{a^2+bc+1}+\frac{b}{b^2+ca+1}+\frac{c}{c^2+ab+1}+3abc<\sqrt 3$$

Sea $p\geq 5$ un número primo, y sea $M=\{1,2,\cdots,p-1\}.$ Defina $$T=\{(n,x_n):p|nx_n-1\ \textup{y}\ n,x_n\in M\}.$$ Si $\sum_{(n,x_n)\in T}n\left[\dfrac{nx_n}{p}\right]\equiv k \pmod {p},$ con $0\leq k\leq p-1,$ donde $\left[\alpha\right]$ denota el entero más grande que no excede a $\alpha,$ determine el valor de $k.$

En $\triangle ABC$ , $AB=AC>BC$ , los puntos $O,H$ son el circuncentro y el ortocentro de $\triangle ABC$ respectivamente , $G $ es el punto medio del segmento $AH$ , $BE$ es la altura sobre $AC$ . Demuestre que si $OE\parallel BC$ , entonces $H$ es el incentro de $\triangle GBC$ .

Determine todos los pares de enteros positivos $(a,b),$ tales que $$14\varphi^2(a)-\varphi(ab)+22\varphi^2(b)=a^2+b^2,$$ donde $\varphi(n)$ es la función totiente de Euler.

Sean $a,b,c$ reales positivos distintos por pares, pruebe que $$\dfrac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}<\dfrac17(\dfrac{1}{|a-b|}+\dfrac{1}{|b-c|}+\dfrac{1}{|c-a|}).$$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sea $E$ un punto en el lado $BC,$ $F$ un punto en el lado $AE,$ $G$ un punto en la bisectriz del ángulo exterior de $\angle BCD,$ tal que $EG=FG,$ $\angle EAG=\dfrac12\angle BAD.$ Pruebe que $AB\cdot AF=AD\cdot AE.$

Para conmemorar el aniversario número $43$ del restablecimiento de las competencias de matemáticas, un entusiasta de las matemáticas organiza los primeros $2021$ enteros $1,2,\dots,2021$ en una secuencia $\{a_n\}$ en un cierto orden, de modo que la suma de cualquier $43$ elementos consecutivos en la secuencia sea un múltiplo de $43$ . (1) Si la secuencia de números está conectada de un extremo a otro en un círculo, pruebe que la suma de cualquier $43$ elementos consecutivos en el círculo también es un múltiplo de $43$ ; (2) Determine el número de secuencias $\{a_n\}$ que cumplen las condiciones de la pregunta.

Suponga que hay $n\geq{5}$ puntos diferentes dispuestos arbitrariamente en un círculo, las etiquetas son $1, 2,\dots $ , y $n$ , y la permutación es $S$ . Para una permutación , una 'cadena descendente' se refiere a varios puntos consecutivos en el círculo , y sus etiquetas son una secuencia descendente en el sentido de las agujas del reloj (la longitud de la secuencia es al menos $2$ ) , y la cadena descendente no se puede extender a más larga . El punto con la etiqueta más grande en la cadena se llama el 'punto de inicio del descenso', y los otros puntos en la cadena se llaman el 'punto de no inicio del descenso' . Por ejemplo: hay dos cadenas descendentes $5, 2$ y $4, 1$ en $5, 2, 4, 1, 3$ dispuestos en el sentido de las agujas del reloj, y $5$ y $4$ son sus puntos de inicio de descenso respectivamente, y $2, 1$ es el punto de no inicio del descenso . Considere las siguientes operaciones: en la primera ronda, encuentre todas las cadenas descendentes en la permutación $S$ , elimine todos los puntos de no inicio del descenso , y luego repita la primera ronda de operaciones para la disposición de los puntos restantes, hasta que no se puedan encontrar más cadenas descendentes. Sea $G(S)$ el número de todas las cadenas descendentes que la permutación $S$ ha aparecido en las operaciones, $A(S)$ sea el valor promedio de $G(S)$ de todas las posibles permutaciones de n puntos $S$ . (1) Encuentre $A(5)$ . (2) Para $n\ge{6}$ , pruebe que $\frac{83}{120}n-\frac{1}{2} \le A(S) \le \frac{101}{120}n-\frac{1}{2}.$