En un triángulo rectángulo $ ABC$, sea $ AD$ la altura trazada a la hipotenusa y sea la línea recta que une los incentros de los triángulos $ ABD, ACD$ interseca los lados $ AB, AC$ en los puntos $ K,L$ respectivamente. Si $ E$ y $ E_1$ denotan las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ AKL$ respectivamente, muestra que \[ \frac {E}{E_1} \geq 2. \]

Muestra que el conjunto solución de la desigualdad \[ \sum^{70}_{k = 1} \frac {k}{x - k} \geq \frac {5}{4} \] es una unión de intervalos disjuntos, la suma de cuya longitud es 1988.

Una función $ f$ definida en los enteros positivos (y que toma valores enteros positivos) está dada por: $ \begin{matrix} f(1) = 1, f(3) = 3 \\ f(2 \cdot n) = f(n) \\ f(4 \cdot n + 1) = 2 \cdot f(2 \cdot n + 1) - f(n) \\ f(4 \cdot n + 3) = 3 \cdot f(2 \cdot n + 1) - 2 \cdot f(n), \end{matrix}$ para todos los enteros positivos $ n.$ Determine con prueba la cantidad de enteros positivos $ \leq 1988$ para los cuales $ f(n) = n.$

Sea $ n$ un entero positivo par. Sean $ A_1, A_2, \ldots, A_{n + 1}$ conjuntos que tienen $ n$ elementos cada uno, de modo que dos cualesquiera de ellos tienen exactamente un elemento en común, mientras que cada elemento de su unión pertenece al menos a dos de los conjuntos dados. ¿Para qué $ n$ se puede asignar a cada elemento de la unión uno de los números 0 y 1 de tal manera que cada uno de los conjuntos tenga exactamente $ \frac {n}{2}$ ceros?

Considera 2 círculos concéntricos de radios $ R$ y $ r$ ( $ R > r$ ) con centro $ O.$ Fija $ P$ en el círculo pequeño y considera la cuerda variable $ PA$ del círculo pequeño. Los puntos $ B$ y $ C$ se encuentran en el círculo grande; $ B,P,C$ son colineales y $ BC$ es perpendicular a $ AP.$ i.) ¿Para qué valores de $ \angle OPA$ la suma $ BC^2 + CA^2 + AB^2$ es extremal? ii.) ¿Cuáles son las posiciones posibles de los puntos medios $ U$ de $ BA$ y $ V$ de $ AC$ cuando $ \angle OPA$ varía?

Dados enteros $a_1, \ldots, a_{10},$ demostrar que existe una secuencia no nula $\{x_1, \ldots, x_{10}\}$ tal que todos los $x_i$ pertenecen a $\{-1,0,1\}$ y el número $\sum^{10}_{i=1} x_i \cdot a_i$ es divisible por 1001.

En el espacio de dimensión 3 se da un punto $O$ y un conjunto finito $A$ de segmentos con la suma de longitudes igual a $1988$. Demostrar que existe un plano disjunto de $A$ tal que la distancia desde él hasta $O$ no exceda de $574$.

Para un polígono convexo $P$ en el plano, sea $P'$ el polígono convexo con vértices en los puntos medios de los lados de $P.$ Dado un entero $n \geq 3,$ determinar cotas precisas para la razón\n\[\n\frac{\text{area } P'}{\text{area } P},\n\]\nsobre todos los $n$ - gonos convexos $P.$

$ S$ es el conjunto de todas las secuencias $ \{a_i| 1 \leq i \leq 7, a_i = 0 \text{ o } 1\}.$ La distancia entre dos elementos $ \{a_i\}$ y $ \{b_i\}$ de $ S$ se define como \[ \sum^7_{i = 1} |a_i - b_i|.\n\]\n$ T$ es un subconjunto de $ S$ en el que dos elementos cualesquiera tienen una distancia entre sí mayor o igual a 3. Demostrar que $ T$ contiene como máximo 16 elementos. Dar un ejemplo de tal subconjunto con 16 elementos.

Dado un conjunto de 1988 puntos en el plano, donde no hay cuatro puntos colineales. Los puntos de un subconjunto con 1788 puntos son de color azul, los 200 restantes son de color rojo. Demostrar que existe una línea en el plano tal que cada una de las dos partes en las que la línea divide el plano contiene 894 puntos azules y 100 puntos rojos.