Un círculo es tangente a los lados $AB$ y $AD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$ en $G$ y $H$ respectivamente, y corta la diagonal $AC$ en $E$ y $F$ . ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que exista otro círculo que pase por $E$ y $F$ , y sea tangente a $DA$ y $DC$ extendidos?

Sean $A$ y $B$ enteros positivos. El conjunto $S$ tiene las siguientes propiedades: Para cada entero no negativo $k$ , $A^k \in S$ ; Si $n \in S$ , entonces todos los divisores positivos de $n$ también pertenecen a $S$ ; Si $m$ , $n \in S$ , y $m$ y $n$ son relativamente primos, entonces $mn \in S$ ; Si $n \in S$ , entonces $An+b \in S$ . Demuestra que para cualquier $p$ que sea relativamente primo con $B$ , $p \in S$ .

Sea un subconjunto $S$ de cuadrados en una cuadrícula conectado si y sólo si para cualquier cuadrado distinto $A$ , $B$ $\in S$ , existe un entero $l \le 2$ y $l$ cuadrados $A=C_1, C_2, \cdots, C_l=B$ tal que $C_i$ y $C_{i+1}$ comparten un lado común para cada $1 \le i \le l-1$ . Alice tiene una cuadrícula de $3 \times n$ que está coloreada arbitrariamente de blanco y negro. Para cada entero positivo $n$ , encuentra el $K$ más grande tal que, sin importar cómo se coloree la cuadrícula, existe un subconjunto conectado de cuadrados con $B$ cuadrados negros y $W$ cuadrados blancos, y $|B-W| \ge K$ .

En el cuadrilátero convexo $ABCD$ , $AC$ biseca $\angle BAD$ , y $E$ , $F$ están en los lados $BC$ , $CD$ respectivamente, tal que $EF \parallel BD$ . $P$ , $Q$ se encuentran en las extensiones de $FA$ , $EA$ tal que los círculos $ABP$ y $ADQ$ son ambos tangentes a $AC$ . Demuestra que $B$ , $P$ , $Q$ , $D$ son concíclicos.

Define el índice de aislamiento del número real $q$ como $\min ( \{x\}, 1-\{x\})$ , donde $[x]$ es el entero más grande no mayor que $x$ , y $\{x\}=x-[x]$ . Para cada entero positivo $r$ , encuentra el número real $C$ máximo posible, tal que existe una secuencia geométrica infinita con razón común $r$ y el índice de aislamiento de cada término es al menos $C$ .

Alice tiene un dado injusto tal que la probabilidad de obtener un $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ forma una secuencia aritmética, en este orden. Bob tira el dado dos veces, obteniendo $a$ y $b$ respectivamente. Hay una probabilidad de $\frac{1}{7}$ de que $a+b=7$ . Encuentra la probabilidad de que $a=b$ .

Sea el número real $m>1$ que satisface $\log_9 \log_8 m =2024$ . Encuentra el valor de $\log_3 \log_2 m$ .

Una secuencia $\{z_n\}$ satisface que para cualquier entero positivo $i,$ $z_i\in\{0,1,\cdots,9\}$ y $z_i\equiv i-1 \pmod {10}.$ Suponga que hay $2021$ reales no negativos $x_1,x_2,\cdots,x_{2021}$ tales que para $k=1,2,\cdots,2021,$ $$\sum_{i=1}^kx_i\geq\sum_{i=1}^kz_i,\sum_{i=1}^kx_i\leq\sum_{i=1}^kz_i+\sum_{j=1}^{10}\dfrac{10-j}{50}z_{k+j}.$$ Determine el menor valor posible de $\sum_{i=1}^{2021}x_i^2.$

Determine todos los pares de enteros impares positivos $(a,b),$ tales que $a,b>1$ y $$7\varphi^2(a)-\varphi(ab)+11\varphi^2(b)=2(a^2+b^2),$$ donde $\varphi(n)$ es la función totiente de Euler.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. La bisectriz interna del ángulo $\angle BAD$ y la línea $BC$ se intersecan en $E.$ $M$ es el punto medio del segmento $AE.$ La bisectriz externa del ángulo $\angle BCD$ y la línea $AD$ se intersecan en $F.$ Las líneas $MF$ y $AB$ se intersecan en $G.$ Pruebe que si $AB=2AD,$ entonces $MF=2MG.$