Sea $S$ un conjunto infinito de enteros que contiene el cero, y tal que las distancias entre números sucesivos nunca excedan un número fijo dado. Considera el siguiente procedimiento: Dado un conjunto $X$ de enteros, construimos un nuevo conjunto que consiste en todos los números $x \pm s,$ donde $x$ pertenece a $X$ y $s$ pertenece a $S.$ Comenzando con $S_0 = \{0\}$, construimos sucesivamente los conjuntos $S_1, S_2, S_3, \ldots$ usando este procedimiento. Demuestra que después de un número finito de pasos no obtenemos ningún conjunto nuevo, es decir, $S_k = S_{k_0}$ para $k \geq k_0.$

Sea $ \{a_k\}^{\infty}_1$ una sucesión de números reales no negativos tal que: \[ a_k - 2 a_{k + 1} + a_{k + 2} \geq 0 \] y $ \sum^k_{j = 1} a_j \leq 1$ para todo $ k = 1,2, \ldots$ . Demuestra que: \[ 0 \leq a_{k} - a_{k + 1} < \frac {2}{k^2} \] para todo $ k = 1,2, \ldots$ .

Un juego para dos personas se juega con nueve cajas dispuestas en un cuadrado de $3 \times 3$ y con piedras blancas y negras. En cada movimiento, un jugador coloca tres piedras, no necesariamente del mismo color, en tres cajas en una línea horizontal o vertical. Ninguna caja puede contener piedras de diferentes colores: si, por ejemplo, un jugador coloca una piedra blanca en una caja que contiene piedras negras, la piedra blanca y una de las piedras negras se retiran de la caja. El juego termina cuando la caja central y las cajas de las esquinas contienen una piedra negra y las otras cajas están vacías. En una etapa de un juego, $x$ cajas contenían una piedra negra cada una y las otras cajas estaban vacías. Determina todos los valores posibles para $x.$

Considera $h+1$ tableros de ajedrez. Numera las casillas de cada tablero del 1 al 64 de tal manera que cuando los perímetros de dos tableros cualesquiera de la colección coincidan de cualquier manera posible, no haya dos casillas en la misma posición que tengan el mismo número. ¿Cuál es el valor máximo de $h?$

El cuadrilátero $A_1A_2A_3A_4$ es cíclico, y sus lados son $a_1 = A_1A_2, a_2 = A_2A_3, a_3 = A_3A_4$ y $a_4 = A_4A_1$. Los círculos respectivos con centros $I_i$ y radios $r_i$ son tangentes externamente a cada lado $a_i$ y a los lados $a_{i+1}$ y $a_{i-1}$ extendidos. ( $a_0 = a_4$ ) . Demuestra que \[ \prod^4_{i=1} \frac{a_i}{r_i} = 4 \cdot (\csc (A_1) + \csc (A_2) )^2. \]

$ABC$ es un triángulo, con inradio $r$ y circunradio $R$. Demuestre que: \[ \sin \left( \frac{A}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{B}{2} \right) + \sin \left( \frac{B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{C}{2} \right) + \sin \left( \frac{C}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A}{2} \right) \leq \frac{5}{8} + \frac{r}{4 \cdot R}. \]

Sea $Q$ el centro del círculo inscrito de un triángulo $ABC$. Pruebe que para cualquier punto $P$, \[ a(PA)^2 + b(PB)^2 + c(PC)^2 = a(QA)^2 + b(QB)^2 + c(QC)^2 + (a + b + c)(QP)^2, \] donde $a = BC, b = CA$ y $c = AB.$

En un grupo de $n$ personas, cada una conoce exactamente a otras tres. Están sentadas alrededor de una mesa. Decimos que la disposición de los asientos es $perfecta$ si cada uno conoce a los dos que están sentados a su lado. Demuestre que, si hay una disposición de asientos perfecta $S$ para el grupo, entonces siempre hay otra disposición de asientos perfecta que no se puede obtener de $S$ por rotación o reflexión.

Para cada entero positivo $k$ y $n$, sea $S_k(n)$ la suma de los dígitos en base $k$ de $n$. Pruebe que hay a lo sumo dos primos $p$ menores que $20,000$ para los cuales $S_{31}(p)$ son números compuestos con al menos dos divisores primos distintos.

Sea $C$ un cubo con aristas de longitud 2. Construya un sólido con catorce caras cortando las ocho esquinas de $C$, manteniendo las nuevas caras perpendiculares a las diagonales del cubo, y manteniendo las caras recién formadas idénticas. Si al concluir este proceso las catorce caras tienen la misma área, encuentre el área de cada cara del nuevo sólido.