Un número par de personas tienen una discusión alrededor de una mesa circular. Después de un descanso, se sientan nuevamente alrededor de la mesa circular en un orden diferente. Demuestre que hay al menos dos personas tales que el número de participantes sentados entre ellos antes y después de un descanso es el mismo.

Se elige un punto $M$ en el lado $AC$ del triángulo $ABC$ de tal manera que los radios de los círculos inscritos en los triángulos $ABM$ y $BMC$ sean iguales. Demuestre que \n\n$ BM^{2} = X \cot \left( \frac {B}{2}\right)$\n\ndonde X es el área del triángulo $ABC$.

Una serie de luces de señal están espaciadas equitativamente a lo largo de una vía férrea de un solo sentido, etiquetadas en orden $1,2, \ldots, N, N \geq 2$. Como regla de seguridad, no se permite que un tren pase una señal si algún otro tren está en movimiento en la longitud de la vía entre ella y la señal siguiente. Sin embargo, no hay límite para el número de trenes que pueden estacionarse inmóviles en una señal, uno detrás del otro. (Suponga que los trenes tienen longitud cero). Una serie de $K$ trenes de carga deben ser conducidos desde la Señal 1 a la Señal $N$. Cada tren viaja a una velocidad distinta pero constante en todo momento cuando no está bloqueado por la regla de seguridad. Demuestre que, independientemente del orden en que estén dispuestos los trenes, transcurrirá el mismo tiempo entre la salida del primer tren de la Señal 1 y la llegada del último tren a la Señal $N$.

El triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $C$. El punto $P$ se encuentra en el segmento $AC$ de tal manera que los triángulos $PBA$ y $PBC$ tienen círculos inscritos congruentes. Exprese la longitud $x = PC$ en términos de $a = BC, b = CA$ y $c = AB$.

Hay $n \geq 3$ vacantes de empleo en una fábrica, clasificadas de $1$ a $n$ en orden de aumento de salario. Hay $n$ solicitantes de empleo, clasificados del $1$ al $n$ en orden de aumento de capacidad. El solicitante $i$ está calificado para el trabajo $j$ si y solo si $i \geq j$. Los solicitantes llegan de uno en uno en orden aleatorio. Cada uno a su vez es contratado para el trabajo de mayor rango para el que está calificado Y que es de rango inferior a cualquier trabajo ya cubierto. (Según estas reglas, el trabajo $1$ siempre se cubre, y la contratación finaliza a partir de entonces). Demuestre que los solicitantes $n$ y $n - 1$ tienen la misma probabilidad de ser contratados.

La secuencia $ \{a_n\}$ de enteros está definida por \[ a_1 = 2, a_2 = 7 \]\ny \[ - \frac {1}{2} < a_{n + 1} - \frac {a^2_n}{a_{n - 1}} \leq \frac {}{}, n \geq 2. \]\nPrueba que $ a_n$ es impar para toda $ n > 1.$

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $ L$ cualquier línea en el plano del triángulo $ ABC$ . Denotemos por $ u$ , $ v$ , $ w$ las longitudes de las perpendiculares a $ L$ desde $ A$ , $ B$ , $ C$ respectivamente. Pruebe la desigualdad $ u^2\cdot\tan A + v^2\cdot\tan B + w^2\cdot\tan C\geq 2\cdot S$ , donde $ S$ es el área del triángulo $ ABC$ . Determine las líneas $ L$ para las cuales se cumple la igualdad.

Se propone dividir un conjunto de enteros positivos en dos subconjuntos disjuntos $ A$ y $ B$ sujetos a las condiciones i.) 1 está en $ A$ ii.) no hay dos miembros distintos de $ A$ que tengan una suma de la forma $ 2^k + 2, k = 0,1,2, \ldots;$ y iii.) no hay dos miembros distintos de B que tengan una suma de esa forma. Demuestre que esta partición se puede llevar a cabo de manera única y determine los subconjuntos a los que pertenecen 1987, 1988 y 1989.

Una función $ f$ definida en los enteros positivos (y que toma valores enteros positivos) está dada por: $ \begin{matrix} f(1) = 1, f(3) = 3 \ \nf(2 \cdot n) = f(n) \ \nf(4 \cdot n + 1) = 2 \cdot f(2 \cdot n + 1) - f(n) \ \nf(4 \cdot n + 3) = 3 \cdot f(2 \cdot n + 1) - 2 \cdot f(n), \end{matrix}$ para todos los enteros positivos $ n.$ Determine con prueba la cantidad de enteros positivos $ \leq 1988$ para los cuales $ f(n) = n.$

Un entero positivo se llama número doble si su representación decimal consiste en un bloque de dígitos, que no comienza con 0, seguido inmediatamente por un bloque idéntico. Por ejemplo, 360360 es un número doble, pero 36036 no lo es. Demuestre que hay infinitos números dobles que son cuadrados perfectos.