Dados dos enteros $m,n$ que son mayores que $1$ . $r,s$ son dos números reales positivos dados tales que $r<s$ . Para todos los $a_{ij}\ge 0$ que no son todos ceros, encuentra el valor máximo de la expresión \[f=\frac{(\sum_{j=1}^{n}(\sum_{i=1}^{m}a_{ij}^s)^{\frac{r}{s}})^{\frac{1}{r}}}{(\sum_{i=1}^{m})\sum_{j=1}^{n}a_{ij}^r)^{\frac{s}{r}})^{\frac{1}{s}}}.\]

Dado un entero $n\ge 2$ . Demuestra que solo existe un número finito de n-tuplas de enteros positivos $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ que satisfacen simultáneamente las siguientes tres condiciones: $a_1>a_2>\ldots>a_n$ ; $\gcd (a_1,a_2,\ldots,a_n)=1$ ; $a_1=\sum_{i=1}^{n}\gcd (a_i,a_{i+1})$ , donde $a_{n+1}=a_1$ .

Sean $a_1<a_2$ dos enteros dados. Para cualquier entero $n\ge 3$ , sea $a_n$ el entero más pequeño que es mayor que $a_{n-1}$ y puede ser representado de forma única como $a_i+a_j$ , donde $1\le i<j\le n-1$ . Dado que solo hay un número finito de números pares en $\{a_n\}$ , demuestra que la secuencia $\{a_{n+1}-a_{n}\}$ es eventualmente periódica, es decir, que existen enteros positivos $T,N$ tales que para todos los enteros $n>N$ , tenemos \[a_{T+n+1}-a_{T+n}=a_{n+1}-a_{n}.\]

Demuestra que existe un número real positivo $C$ con la siguiente propiedad: para cualquier entero $n\ge 2$ y cualquier subconjunto $X$ del conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$ tal que $|X|\ge 2$ , existen $x,y,z,w \in X$ (no necesariamente distintos) tales que \[0<|xy-zw|<C\alpha ^{-4}\] donde $\alpha =\frac{|X|}{n}$ .

En un grafo simple $G$ , llamamos a $t$ vértices adyacentes por pares una $t$ -clique . Si un vértice está conectado con todos los demás vértices en el grafo, lo llamamos un vértice central. Dados dos enteros $n,k$ tales que $\dfrac {3}{2} \leq \dfrac{1}{2} n < k < n$ . Sea $G$ un grafo en $n$ vértices tal que (1) $G$ no contiene una $(k+1)$ - clique ; (2) si agregamos una arista arbitraria a $G$ , eso crea una $(k+1)$ - clique . Encuentra el menor número posible de vértices centrales en $G$ .

$n$ es un entero dado, encuentra todas las funciones $f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ , tales que para todos los enteros $x,y$ tenemos $f\left( {x + y + f(y)} \right) = f(x) + ny$ .

Para un entero positivo $n$ , denotamos por $\tau (n)$ el número de sus divisores positivos. Para un entero positivo $n$ , si $\tau (m) < \tau (n)$ para todo $m < n$ , llamamos a $n$ un número bueno. Demuestra que para cualquier entero positivo $k$ , solo hay un número finito de números buenos no divisibles por $k$ .

Dadas dos circunferencias ${\omega _1},{\omega _2}$ , $S$ denota todos los $\Delta ABC$ que satisfacen que ${\omega _1}$ es la circunferencia circunscrita de $\Delta ABC$ , ${\omega _2}$ es la $A$ - excírculo de $\Delta ABC$ , ${\omega _2}$ toca a $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ . $S$ no está vacío, demuestra que el centroide de $\Delta DEF$ es un punto fijo.

Para cada permutación $ \tau$ de $ 1, 2, \ldots, 10$ , $ \tau = (x_1, x_2, \ldots, x_{10})$ , defina $ S(\tau) = \sum_{k = 1}^{10} |2x_k - 3x_{k - 1}|$ . Sea $ x_{11} = x_1$ . Encuentre I. Los valores máximo y mínimo de $ S(\tau)$ . II. El número de $ \tau$ que permite que $ S(\tau)$ alcance su máximo. III. El número de $ \tau$ que permite que $ S(\tau)$ alcance su mínimo.

Para un número natural fijo $m \geq 2$ , demuestre que a.) Existen enteros $x_1, x_2, \ldots, x_{2m}$ tales que \[x_i x_{m + i} = x_{i + 1} x_{m + i - 1} + 1, i = 1, 2, \ldots, m \hspace{2cm}(*)\] b.) Para cualquier conjunto de enteros $\lbrace x_1, x_2, \ldots, x_{2m}$ que cumpla (*), se puede construir una secuencia integral $\ldots, y_{-k}, \ldots, y_{-1}, y_0, y_1, \ldots, y_k, \ldots$ tal que $y_k y_{m + k} = y_{k + 1} y_{m + k - 1} + 1, k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ tal que $y_i = x_i, i = 1, 2, \ldots, 2m$ .