Sean $x_1, x_2, \dots ,x_n$ ( $n\ge 2$ ) números reales positivos que satisfacen $\sum^{n}_{i=1}x_i=1$ . Pruebe que: \[\sum^{n}_{i=1}\dfrac{x_i}{\sqrt{1-x_i}}\ge \dfrac{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_i}}{\sqrt{n-1}}.\]

Dado $n\geq 2$ , $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ , $a_n\in\mathbb {R}$ satisfacen $$a_1\geqslant a_2\geqslant \cdots \geqslant a_n\geqslant 0,a_1+a_2+\cdots +a_n=n.$$ Encuentre el valor mínimo de $a_1+a_1a_2+\cdots +a_1a_2\cdots a_n$ .

Encuentre el valor máximo de $M$ , si elige $10$ números reales diferentes al azar en $[1,M]$ , debe haber $3$ números $a<b<c$ , que satisfagan que $ax^2+bx+c=0$ no tiene raíz real.

En algunos cuadrados de una cuadrícula de $2012\times 2012$ hay algunos escarabajos, tales que ningún cuadrado contiene más de un escarabajo. En un momento dado, todos los escarabajos vuelan fuera de la cuadrícula y luego aterrizan en la cuadrícula de nuevo, también satisfaciendo la condición de que hay como máximo un escarabajo de pie en cada cuadrado. El vector desde el centro del cuadrado desde el que un escarabajo $B$ vuela hasta el centro del cuadrado en el que aterriza se llama el vector de traslación del escarabajo $B$ . Para todas las configuraciones iniciales y finales posibles, encuentra la longitud máxima de la suma de los vectores de traslación de todos los escarabajos.

Encuentra todos los enteros $k\ge 3$ con la siguiente propiedad: Existen enteros $m,n$ tales que $1<m<k$ , $1<n<k$ , $\gcd (m,k)=\gcd (n,k) =1$ , $m+n>k$ y $k\mid (m-1)(n-1)$ .

Dado un entero $n\ge 4$ . $S=\{1,2,\ldots,n\}$ . $A,B$ son dos subconjuntos de $S$ tales que para cada par de $(a,b),a\in A,b\in B, ab+1$ es un cuadrado perfecto. Demuestra que \[\min \{|A|,|B|\}\le\log _2n.\]

Encuentra el menor valor posible de un número real $c$ tal que para cualquier polinomio mónico de grado $2012$ \[P(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\ldots+a_1x+a_0\] con coeficientes reales, podemos obtener un nuevo polinomio $Q(x)$ multiplicando algunos de sus coeficientes por $-1$ tal que cada raíz $z$ de $Q(x)$ satisface la desigualdad \[ \left\lvert \operatorname{Im} z \right\rvert \le c \left\lvert \operatorname{Re} z \right\rvert. \]

Dado un entero $k\ge 2$ . Demuestra que existen $k$ enteros positivos distintos por pares $a_1,a_2,\ldots,a_k$ tales que para cualquier entero no negativo $b_1,b_2,\ldots,b_k,c_1,c_2,\ldots,c_k$ satisfaciendo $a_i\le b_i\le 2a_i, i=1,2,\ldots,k$ y $\prod_{i=1}^{k}b_i^{c_i}<\prod_{i=1}^{k}b_i$ , tenemos \[k\prod_{i=1}^{k}b_i^{c_i}<\prod_{i=1}^{k}b_i.\]

En un triángulo acutángulo $ABC$ , $\angle A>60^{\circ}$ , $H$ es su ortocentro. $M,N$ son dos puntos en $AB,AC$ respectivamente, tales que $\angle HMB=\angle HNC=60^{\circ}$ . Sea $O$ el circuncentro del triángulo $HMN$ . $D$ es un punto en el mismo lado con $A$ de $BC$ tal que $\triangle DBC$ es un triángulo equilátero. Demuestra que $H,O,D$ son colineales.

Dado un entero $n\ge 2$ , una función $f:\mathbb{Z}\rightarrow \{1,2,\ldots,n\}$ se llama buena , si para cualquier entero $k,1\le k\le n-1$ existe un entero $j(k)$ tal que para todo entero $m$ tenemos \[f(m+j(k))\equiv f(m+k)-f(m) \pmod{n+1}. \] Encuentra el número de funciones buenas.