Retratos de científicos famosos cuelgan en una pared. Los científicos vivieron entre 1600 y 2008, y ninguno de ellos vivió más de 80 años. Vasya multiplicó los años de nacimiento de estos científicos, y Petya multiplicó los años de su muerte. El resultado de Petya es exactamente $ 5\over 4$ veces mayor que el resultado de Vasya. ¿Qué número mínimo de retratos puede haber en la pared?

Sean $n+1, n \geq 1$ enteros positivos formados tomando el producto de $n$ números primos dados (un número primo puede aparecer varias veces o también no aparecer en absoluto en un producto formado de esta manera). Demuestra que entre estos $n+1$ se pueden encontrar algunos números cuyo producto es un cuadrado perfecto.

Dado un número natural $n,$ encuentra todos los polinomios $P(x)$ de grado menor que $n$ que satisfacen la siguiente condición \[ \sum^n_{i=0} P(i) \cdot (-1)^i \cdot \binom{n}{i} = 0. \]

Sea $p \geq 2$ un número natural. Demuestra que existe un entero $n_0$ tal que \[ \sum^{n_0}_{i=1} \frac{1}{i \cdot \sqrt[p]{i + 1}} > p. \]

Un 14-gono regular con lado $a$ está inscrito en un círculo de radio uno. Demuestra que \[ \frac{2-a}{2 \cdot a} > \sqrt{3 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{7} \right)}. \]

¿Existe un número $\alpha, 0 < \alpha < 1$ tal que existe una secuencia infinita $\{a_n\}$ de números positivos que satisfacen \[ 1 + a_{n+1} \leq a_n + \frac{\alpha}{n} \cdot \alpha_n, n = 1,2, \ldots? \]

Hacemos corresponder conjuntos $M$ de puntos en el plano de coordenadas a conjuntos $M*$ de acuerdo con la regla de que $ (x*,y*) \in M*$ si y sólo si $ x \cdot x* + y \cdot y* \leq 1$ siempre que $ (x,y) \in M.$ Encuentra todos los triángulos $Q$ tales que $Q*$ es la reflexión de $Q$ en el origen.

Se dan siete círculos. Es decir, hay seis círculos dentro de un círculo fijo, cada uno tangente al círculo fijo y tangente a los otros dos círculos adyacentes más pequeños. Si los puntos de contacto entre los seis círculos y el círculo más grande son, en orden, $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ y $A_6$ pruebe que \[ A_1 A_2 \cdot A_3 A_4 \cdot A_5 A_6 = A_2 A_3 \cdot A_4 A_5 \cdot A_6 A_1. \]

En una fila escrita en orden creciente todos los números racionales positivos irreducibles, tales que el producto del numerador y el denominador es menor que 1988. Pruebe que cualesquiera dos fracciones adyacentes $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d},$ $\frac{a}{b} < \frac{c}{d},$ satisfacen la ecuación $b \cdot c - a \cdot d = 1.$

Sean $a,b,c$ enteros diferentes de cero. Se sabe que la ecuación $a \cdot x^2 + b \cdot y^2 + c \cdot z^2 = 0$ tiene una solución $(x,y,z)$ en números enteros diferentes de las soluciones $x = y = z = 0.$ Pruebe que la ecuación \[ a \cdot x^2 + b \cdot y^2 + c \cdot z^2 = 1 \] tiene una solución en números racionales.