El punto $ I_1$ es la reflexión del incentro $ I$ del triángulo $ ABC$ a través del lado $ BC$. La circunferencia circunscrita de $ BCI_1$ intersecta la línea $ II_1$ nuevamente en el punto $ P$. Se sabe que $ P$ se encuentra fuera de la circunferencia inscrita del triángulo $ ABC$. Dos tangentes trazadas desde $ P$ a la última circunferencia la tocan en los puntos $ X$ e $ Y$. Demuestra que la línea $ XY$ contiene una línea media del triángulo $ ABC$.

¿Es posible colocar en un círculo todos los enteros positivos compuestos que no superen $ 10^6$ , de modo que ningún par de números vecinos sean coprimos? Demuestra que todos los enteros positivos compuestos que no superen $ 10^6$ pueden colocarse en un círculo de modo que ningún par de números vecinos sean coprimos.

Varios números irracionales están escritos en una pizarra. Se sabe que para cada dos números $ a$ y $ b$ en la pizarra, al menos uno de los números $ a\over b+1$ y $ b\over a+1$ es racional. ¿Qué número máximo de números irracionales puede haber en la pizarra?

Se eligen 250 números entre los enteros positivos que no superan 501. Demuestra que para cada entero $ t$ hay cuatro números elegidos $ a_1$, $ a_2$, $ a_3$, $ a_4$, tales que $ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 - t$ es divisible por 23.

Un conjunto $ X$ de enteros positivos se llama bonito si para cada par $ a$, $ b\in X$ exactamente uno de los números $ a + b$ y $ |a - b|$ pertenece a $ X$ (los números $ a$ y $ b$ pueden ser iguales). Determina el número de conjuntos bonitos que contienen el número 2008.

Sea $ ABCD$ un trapecio isósceles con $ AD \parallel BC$. Sus diagonales $ AC$ y $ BD$ se intersectan en el punto $ M$. Los puntos $ X$ e $ Y$ en el segmento $ AB$ son tales que $ AX = AM$, $ BY = BM$. Sea $ Z$ el punto medio de $ XY$ y $ N$ es el punto de intersección de los segmentos $ XD$ e $ YC$. Demuestra que la línea $ ZN$ es paralela a las bases del trapecio.

Un cargador tiene un vagón y una carretilla. El vagón puede transportar hasta 1000 kg, y la carretilla puede transportar sólo hasta 1 kg. Un número finito de sacos con arena yacen en un almacén. Se sabe que su peso total es más de 1001 kg, mientras que cada saco pesa no más de 1 kg. ¿Qué peso máximo de arena puede transportar el cargador en el vagón y la carretilla, independientemente de los pesos particulares de los sacos?

El punto $ I_1$ es la reflexión del incentro $ I$ del triángulo $ ABC$ a través del lado $ BC$. La circunferencia circunscrita de $ BCI_1$ intersecta la línea $ II_1$ nuevamente en el punto $ P$. Se sabe que $ P$ se encuentra fuera de la circunferencia inscrita del triángulo $ ABC$. Dos tangentes trazadas desde $ P$ a la última circunferencia la tocan en los puntos $ X$ e $ Y$. Demuestra que la línea $ XY$ contiene una línea media del triángulo $ ABC$.

100 cuadrados unitarios de un plano cuadrado infinito forman un cuadrado de $ 10\times 10$. Los segmentos unitarios que forman estos cuadrados están coloreados en varios colores. Se sabe que el borde de cada cuadrado con lados en las líneas de la cuadrícula contiene segmentos de a lo sumo dos colores. (Tal cuadrado no está necesariamente contenido en el cuadrado original de $ 10\times 10$.) ¿Qué número máximo de colores puede aparecer en esta coloración?

¿Es posible colocar en un círculo todos los enteros positivos compuestos que no superen $ 10^6$ , de modo que ningún par de números vecinos sean coprimos? Demuestra que todos los enteros positivos compuestos que no superen $ 10^6$ pueden colocarse en un círculo de modo que ningún par de números vecinos sean coprimos.