Demuestra que existen infinitos enteros positivos que no pueden escribirse en la forma $a^{d(a)}+b^{d(b)}$ para algunos enteros positivos $a$ y $b$ . Para un entero positivo $d(a)$ denota el número de divisores positivos de $a$

Encuentra todas las funciones $f$ de los enteros positivos a sí mismos tales que: 1 ) $f(mn)=f(m)f(n)$ para todos los enteros positivos $m, n$ 2 ) $\{1, 2, ..., n\}=\{f(1), f(2), ... f(n)\}$ es verdadero para infinitos enteros positivos $n$ .

Sea $ABC$ un triángulo. Las bisectrices del ángulo externo e interno de $\angle CAB$ intersecan el lado $BC$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Sea $F$ un punto en el segmento $BC$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $ADF$ interseca a $AB$ y $AC$ en $I$ y $J$ , respectivamente. Sea $N$ el punto medio de $IJ $ y $H$ el pie de $E$ en $DN$ . Demuestra que $E$ es el incentro del triángulo $AHF$ , o el centro del excírculo.

En cada vértice de un $n$ -ágono regular $A_1A_2...A_n$ hay un peón único. En cada paso se permite: 1. mover todos los peones un paso en la dirección de las agujas del reloj o 2. intercambiar los peones en los vértices $A_1$ y $A_2$ . Demuestra que mediante una serie finita de tales pasos es posible intercambiar los peones en los vértices: a) $A_i$ y $A_{i+1}$ para cualquier $ 1 \leq i < n$ dejando todos los demás peones en su lugar inicial b) $A_i$ y $A_j$ para cualquier $ 1 \leq i < j \leq n$ dejando todos los demás peones en su lugar inicial.

Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas? Si un hecho es verdadero, debes probarlo, si no lo es, encuentra un contraejemplo. a) Sean $a,b,c$ números reales tales que $ a^{2013} + b^{2013} + c^{2013} = 0 $ . Entonces $ a^{2014} + b^{2014} + c^{2014} = 0 $ . b) Sean $a,b,c$ números reales tales que $ a^{2014} + b^{2014} + c^{2014} = 0 $ . Entonces $ a^{2015} + b^{2015} + c^{2015} = 0 $ . c) Sean $a,b,c$ números reales tales que $ a^{2013} + b^{2013} + c^{2013} = 0 $ y $ a^{2015} + b^{2015} + c^{2015} = 0 $ . Entonces $ a^{2014} + b^{2014} + c^{2014} = 0 $ .

Se da un hexágono convexo. Sea $ s$ la suma de las longitudes de los tres segmentos que conectan los puntos medios de sus lados opuestos. Demuestra que hay un punto en el hexágono tal que la suma de sus distancias a las líneas que contienen los lados del hexágono no excede $ s.$

Un cargador tiene dos carritos. Uno de ellos puede transportar hasta 8 kg, y otro puede transportar hasta 9 kg. Un número finito de sacos con arena yacen en un almacén. Se sabe que su peso total es más de 17 kg, mientras que cada saco pesa no más de 1 kg. ¿Qué peso máximo de arena puede transportar el cargador en sus dos carritos, independientemente de los pesos particulares de los sacos?

Un conjunto $ X$ de enteros positivos se llama bonito si para cada par $ a$, $ b\in X$ exactamente uno de los números $ a + b$ y $ |a - b|$ pertenece a $ X$ (los números $ a$ y $ b$ pueden ser iguales). Determina el número de conjuntos bonitos que contienen el número 2008.

Cada calle en la ciudad de Hamiltonville conecta dos plazas, y se puede llegar a cada plaza por calles desde cualquier otra. El gobernador descubrió que si cerraba todas las plazas de cualquier ruta que no pasara por ninguna plaza más de una vez, cada plaza restante sería accesible entre sí. Demuestra que existe una ruta circular que pasa por cada plaza de la ciudad exactamente una vez.

Un grupo de personas se llama bueno si sus miembros pueden ser distribuidos en varias habitaciones de modo que nadie esté familiarizado con ninguna persona en la misma habitación, pero es posible elegir una persona de cada habitación de modo que todas las personas elegidas estén familiarizadas entre sí. Un grupo se llama perfecto si es bueno y todo conjunto de sus miembros también es bueno. Un grupo perfecto planeó una fiesta. Sin embargo, uno de sus miembros, Alice, trajo a su conocido Bob, quien no estaba originalmente esperado, y lo presentó a todos sus otros conocidos. Demuestra que el nuevo grupo también es perfecto.