Dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con igual radio se intersectan en dos puntos $E$ y $X$. Puntos arbitrarios $C, D$ se encuentran en $\omega_1, \omega_2$. Líneas paralelas a $XC, XD$ desde $E$ intersectan $\omega_2, \omega_1$ en $A, B$, respectivamente. Suponga que $CD$ intersecta $\omega_1, \omega_2$ nuevamente en $P, Q$, respectivamente. Demuestra que $ABPQ$ es cíclico.

En la figura de abajo tenemos $AX = BY$. Demuestra que $\angle XDA = \angle CDY$.

a) ¿Existen cuatro triángulos equiláteros en el plano tales que cada dos tienen exactamente un vértice en común, y cada punto en el plano se encuentra en la frontera de a lo sumo dos de ellos? b) ¿Existen cuatro cuadrados en el plano tales que cada dos tienen exactamente un vértice en común, y cada punto en el plano se encuentra en la frontera de a lo sumo dos de ellos? (Ten en cuenta que en ambas partes, no hay suposición sobre la intersección del interior de los polígonos.)

Sea $AD$ la bisectriz del ángulo interno del triángulo $ABC$. Las circunferencias inscritas de los triángulos $ABC$ y $ACD$ se tocan externamente. Demuestra que $\angle ABC > 120^{\circ}$. (Recuerda que la circunferencia inscrita de un triángulo es un círculo dentro del triángulo que es tangente a sus tres lados.)

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB = BC = CD$ y $\angle BDE = \angle EAC = 30 ^{\circ}$. Encuentra los valores posibles de $\angle BEC$.

Se da un trapecio isósceles $ABCD$ $(AB \parallel CD)$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran en los lados $BC$ y $AD$, y los puntos $M$ y $N$ se encuentran en el segmento $EF$ tal que $DF = BE$ y $FM = NE$. Sean $K$ y $L$ los pies de las líneas perpendiculares desde $M$ y $N$ a $AB$ y $CD$, respectivamente. Demuestra que $EKFL$ es un paralelogramo.

Encuentra los ángulos del pentágono $ABCDE$ en la figura a continuación.

Encuentra todas las funciones $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ tales que para todos $x,y\in{{\mathbb{R}}}$ se cumple $f(x^2)+f(2y^2)=(f(x+y)+f(y))(f(x-y)+f(y))$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico en el que las bisectrices del ángulo interno $\angle ABC$ y $\angle ADC$ se intersecan en la diagonal $AC$ . Sea $M$ el punto medio de $AC$ . La línea paralela a $BC$ que pasa por $D$ corta a $BM$ en $E$ y al círculo $ABCD$ en $F$ ( $F \neq D$ ). Demuestra que $BCEF$ es un paralelogramo.

Jeck y Lisa están jugando un juego en una mesa de dimensiones $m \times n$ , donde $m , n >2$ . Lisa comienza colocando una figura de caballero en un cuadrado arbitrario de la mesa. Después de eso, Jeck y Lisa colocan una nueva figura en la mesa según las siguientes reglas: 1. Jeck coloca una figura de reina en cualquier cuadrado vacío de una mesa que esté a dos cuadrados verticalmente y un cuadrado horizontalmente de distancia, o un cuadrado verticalmente y dos cuadrados horizontalmente de distancia de la última figura de caballero que Lisa colocó en la mesa 2. Lisa coloca una figura de caballero en cualquier cuadrado vacío de una mesa que esté en la misma fila, columna o diagonal que la última figura de reina que Jeck colocó en la mesa. El jugador que no puede poner su figura pierde. ¿Para qué pares de $(m,n)$ Lisa tiene una estrategia ganadora?