En una fiesta con $99$ invitados, los anfitriones Ann y Bob juegan un juego (los anfitriones no se consideran invitados). Hay $99$ sillas dispuestas en un círculo; inicialmente, todos los invitados están de pie alrededor de esas sillas. Los anfitriones se turnan alternativamente. En un turno, un anfitrión ordena a cualquier invitado de pie que se siente en una silla desocupada $c$ . Si alguna silla adyacente a $c$ ya está ocupada, el mismo anfitrión ordena a un invitado en tal silla que se levante (si ambas sillas adyacentes a $c$ están ocupadas, el anfitrión elige exactamente una de ellas). Todas las órdenes se llevan a cabo inmediatamente. Ann hace el primer movimiento; su objetivo es cumplir, después de algún movimiento suyo, que al menos $k$ sillas estén ocupadas. Determina el mayor $k$ para el cual Ann puede alcanzar el objetivo, independientemente del juego de Bob.

Sea el incírculo del triángulo $ABC$ , y 3 círculos inscritos entre el incírculo y los ángulos de $ABC$ . Sean $r, r_1, r_2, r_3$ los radios de estos círculos ( $r_1, r_2, r_3 < r$ ) . Demuestra que $$r_1+r_2+r_3 \geq r$$

Sea $n\ge 2$ un entero. A Elwyn se le da una tabla de $n\times n$ llena de números reales (cada celda de la tabla contiene exactamente un número). Definimos un conjunto de torres como un conjunto de $n$ celdas de la tabla situadas en $n$ filas distintas, así como en n columnas distintas. Asume que, para cada conjunto de torres, la suma de $n$ números en las celdas que forman el conjunto es no negativa. Mediante un movimiento, Elwyn elige una fila, una columna y un número real $a,$ y luego añade $a$ a cada número de la fila elegida, y resta $a$ de cada número de la columna elegida (por lo tanto, el número en la intersección de la fila y la columna elegidas no cambia). Demuestra que Elwyn puede realizar una secuencia de movimientos de manera que todos los números de la tabla se vuelvan no negativos.

En un hexágono cíclico convexo $ABCDEF$ , $BC=EF$ y $CD=AF$ . Las diagonales $AC$ y $BF$ se intersecan en el punto $Q,$ y las diagonales $EC$ y $DF$ se intersecan en el punto $P.$ Los puntos $R$ y $S$ están marcados en los segmentos $DF$ y $BF$ respectivamente, de modo que $FR=PD$ y $BQ=FS.$ Los segmentos $RQ$ y $PS$ se intersecan en el punto $T.$ Demuestra que la línea $TC$ biseca la diagonal $DB$ .

Demuestra que existe un entero positivo $n$ , tal que el resto de $3^n$ cuando se divide por $2^n$ es mayor que $10^{2021} $ .

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC = 90^\circ$ y $AB > AC$ . Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ hasta $BC$ , $M$ el punto medio de $BC$ y $A'$ el reflejo de $A$ sobre $D$ . Sea la mediatriz de $DM$ intersectar las líneas $AB$ y $A'C$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Sea $K$ la intersección de las líneas $A'C$ y $AB$ . Demostrar que $PQ$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $QDK$ .

Sea $n$ un entero positivo. Ana y Beto juegan un juego en un tablero de $2 \times n$ (con 2 filas y $n$ columnas). Primero, Ana escribe un dígito del 1 al 9 en cada celda del tablero de tal manera que en cada columna los dos dígitos escritos sean diferentes. Luego, Beto borra un dígito de cada columna. Leyendo de izquierda a derecha, se forma un número con $n$ dígitos. Beto gana si este número es múltiplo de $n$ ; de lo contrario, Ana gana. Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora en los siguientes casos:\n$\bullet$ (a) $n = 1001$ .\n$\bullet$ (b) $n = 1003$ .

Sea $N$ un entero positivo. Se dice que una secuencia no decreciente $a_1 \le a_2 \le \dots$ de enteros positivos es $N$ - rioplatense si existe un índice $i$ tal que $N = \frac{i}{a_i}$ . Demostrar que toda secuencia $2024$ - rioplatense es $k$ - rioplatense para $k=1, 2, 3, \dots, 2023$ .

Sean $a$ , $b$ , $c$ enteros positivos. Demostrar que para infinitos enteros impares positivos $n$ , existe un entero $m > n$ tal que $a^n + b^n + c^n$ divide a $a^m + b^m + c^m$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ , incentro $I$ , y circunferencia circunscrita $\omega$ . Sea $D$ la intersección de la bisectriz externa del ángulo $\widehat{ BAC}$ con la línea $BC$ . Sea $E$ el punto medio del arco $BC$ de $\omega$ que no contiene a $A$ . Sea $M$ el punto medio de $DI$ , y $X$ la intersección de $EM$ con $\omega$ . Demostrar que $IX$ y $EM$ son perpendiculares.