Una caja con forma de paralelepípedo se puede llenar completamente con cubos de lado $1$. Si colocamos en ella el máximo número posible de cubos, cada uno de volumen $2$, con los lados paralelos a los de la caja, entonces exactamente el $40$ por ciento del volumen de la caja está ocupado. Determine las posibles dimensiones de la caja.

Consideramos el siguiente sistema con $q=2p$ : \[\begin{matrix} a_{11}x_{1}+\ldots+a_{1q}x_{q}=0,\\ a_{21}x_{1}+\ldots+a_{2q}x_{q}=0,\\ \ldots ,\\ a_{p1}x_{1}+\ldots+a_{pq}x_{q}=0,\\ \end{matrix}\] en el que cada coeficiente es un elemento del conjunto $\{-1,0,1\}$ $.$\nDemuestre que existe una solución $x_{1}, \ldots,x_{q}$ para el sistema con las propiedades: a.) todos $x_{j}, j=1,\ldots,q$ son enteros $;$ b.) existe al menos un j para el cual $x_{j} \neq 0;$ c.) $|x_{j}| \leq q$ para cualquier $j=1, \ldots ,q.$

Una secuencia $(u_{n})$ está definida por \[ u_{0}=2 \quad u_{1}=\frac{5}{2}, u_{n+1}=u_{n}(u_{n-1}^{2}-2)-u_{1} \quad \textnormal{para } n=1,\ldots \] Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ tenemos \[ [u_{n}]=2^{\frac{(2^{n}-(-1)^{n})}{3}} \] (donde [x] denota el entero más pequeño $\leq$ x ) $.$

En un cuadrilátero convexo (en el plano) con un área de $32 \text{ cm}^{2}$ la suma de dos lados opuestos y una diagonal es $16 \text{ cm}$ . Determine todos los valores posibles que la otra diagonal puede tener.

Sean $a_0, a_1, \ldots, a_n, a_{n+1}$ una secuencia de números reales que satisfacen las siguientes condiciones: \[a_0 = a_{n+1 }= 0,\] \[ |a_{k-1} - 2a_k + a_{k+1}| \leq 1 \quad (k = 1, 2,\ldots , n).\] Demuestre que $|a_k| \leq \frac{k(n+1-k)}{2} \quad (k = 0, 1,\ldots ,n + 1).$

Sea $ABC$ un triángulo con bisectrices $AA_1,BB_1, CC_1$ ( $A_1 \in BC$ , etc.) y $M$ su punto común. Considere los triángulos $MB_1A, MC_1A,MC_1B,MA_1B,MA_1C,MB_1C$ , y sus círculos inscritos. Demuestre que si cuatro de estos seis círculos inscritos tienen radios iguales, entonces $AB = BC = CA.$

Sea $n > 2$ un número natural. Un subconjunto $A$ de $R$ se dice $n$ - pequeño si existen $n$ números reales $t_1, t_2, ..., t_n$ tales que los conjuntos $t_1 + A, t_2 + A, ..., t_n + A$ son diferentes. Demostrar que $R$ no puede ser representado como una unión de $n - 1$ conjuntos $n$ - pequeños. Notación: si $r \in R$ y $B \subset R$, entonces $r + B = \{r + b | b \in B\}$.

Divide cada lado de un triángulo en $50$ partes iguales, y cada punto de la división se une al vértice opuesto por un segmento. Calcular el número de puntos de intersección determinados por estos segmentos. Clarificación: los vértices del triángulo original no se consideran puntos de intersección o división.

Encuentra todas las funciones $f:Z\to Z$ con la siguiente propiedad: si $x+y+z=0$, entonces $f(x)+f(y)+f(z)=xyz$.

Sea $p > 3$ un número primo y $x$ un entero, denotemos por $r(x) \in \{0, 1, ..., p - 1\}$ al resto de $x$ módulo $p$. Sean $x_1, x_2, ..., x_k$ ($2 < k < p$) enteros distintos módulo $p$ y no divisibles por $p$. Decimos que un número $a \in \{1, 2, ..., p - 1\}$ es bueno si $r(a x_1) < r(a x_2) < ... < r(a x_k)$. Demostrar que hay a lo sumo $\frac{2 p}{k + 1} - {1}$ números buenos.