Sea $a \in \mathbb{R}$ un parámetro. (1) Demuestre que las curvas de $y = x^2 + (a + 2)x - 2a + 1$ pasan por un punto fijo; además, los vértices de estas parábolas se encuentran todos en la curva de una cierta parábola. (2) Si la función $x^2 + (a + 2)x - 2a + 1 = 0$ tiene dos raíces reales distintas, encuentre el rango de valores de la raíz más grande.

Sea la secuencia $\{a_1,a_2,\dots \}$ con términos enteros que satisfacen las siguientes condiciones: 1) $a_{n+1}=3a_n-3a_{n-1}+a_{n-2}, n=2,3,\dots$ ; 2) $2a_1=a_0+a_2-2$ ; 3) para un número natural arbitrario $m$ , existen $m$ términos consecutivos $a_k, a_{k-1}, \dots ,a_{k+m-1}$ entre la secuencia tales que todos esos $m$ términos son cuadrados perfectos. Demuestre que todos los términos de la secuencia $\{a_1,a_2,\dots \}$ son cuadrados perfectos.

Encuentre el máximo número posible de aristas de un grafo simple con $8$ vértices y sin ningún cuadrilátero. (Un grafo simple es un grafo no dirigido que no tiene bucles (aristas conectadas en ambos extremos al mismo vértice) y no más de una arista entre dos vértices diferentes).

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ está inscrito en un círculo con centro $O$. Las diagonales $AC$ , $BD$ de $ABCD$ se intersecan en $P$ . Los circuncírculos de $\triangle ABP$ y $\triangle CDP$ se intersecan en $P$ y $Q$ ( $O,P,Q$ son distintos por parejas). Demuestre que $\angle OQP=90^{\circ}$.

Determine todos los valores posibles del entero $k$ para los cuales existen enteros positivos $a$ y $b$ tales que $\dfrac{b+1}{a} + \dfrac{a+1}{b} = k$ .

Hay $n$ $(n \ge 3)$ jugadores en un torneo de tenis de mesa, en el que dos jugadores cualesquiera tienen un partido. Se dice que el jugador $A$ no es superado por el jugador $B$ , si al menos uno de los perdedores del jugador $A$ no es un perdedor de $B$ . Determine, con prueba, todos los valores posibles de $n$ , tales que el siguiente caso podría ocurrir: después de terminar todos los partidos, cada jugador no es superado por ningún otro jugador.

$\Delta ABC$ es un triángulo rectángulo, $\angle C = 90^{\circ}$ . Dibuje un círculo centrado en $B$ con radio $BC$ . Sea $D$ un punto en el lado $AC$ , y $DE$ es tangente al círculo en $E$ . La línea que pasa por $C$ perpendicular a $AB$ se encuentra con la línea $BE$ en $F$ . La línea $AF$ se encuentra con $DE$ en el punto $G$ . La línea que pasa por $A$ paralela a $BG$ se encuentra con $DE$ en $H$ . Demuestre que $GE = GH$ .

Sea $k$ un entero y $k > 1$ . Defina una secuencia $\{a_n\}$ como sigue: $a_0 = 0$ , $a_1 = 1$ , y $a_{n+1} = ka_n + a_{n-1}$ para $n = 1,2,...$ . Determine, con prueba, todos los posibles $k$ para los cuales existen enteros no negativos $l,m (l \not= m)$ y enteros positivos $p,q$ tales que $a_l + ka_p = a_m + ka_q$ .

Sean $a_1,a_2,..,a_n,b_1,b_2,...,b_n$ números no negativos que satisfacen las siguientes condiciones simultáneamente: \n(1) $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) = 1$ ;\n(2) $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i(a_i - b_i) = 0$ ;\n(3) $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^2(a_i + b_i) = 10$ .\nDemuestre que $\text{max}\{a_k,b_k\} \le \dfrac{10}{10+k^2}$ para todo $1 \le k \le n$ .

Determine todos los valores posibles del entero positivo $n$ , tales que existen $n$ subconjuntos diferentes de 3 elementos $A_1,A_2,...,A_n$ del conjunto $\{1,2,...,n\}$ , con $|A_i \cap A_j| \not= 1$ para todo $i \not= j$ .