Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sea $n \geq 2$ un número entero. Probar que hay $n$ triángulos con la misma área que cumplen todas las siguientes propiedades: a) Sus interiores son disjuntos, es decir, los triángulos no se superponen. b) Cada triángulo está ya sea en $ABCD$ o dentro de él. c) La suma de las áreas de todos estos triángulos es al menos $\frac{4n}{4n+1}$ el área de $ABCD$ .

Sea $d(k)$ la cantidad de divisores positivos del entero $k$ . Un número $n$ es llamado balanceado si $d(n-1) \leq d(n) \leq d(n+1)$ o $d(n-1) \geq d(n) \geq d(n+1)$ . Demostrar que hay infinitos números balanceados.

Sea $M$ el conjunto de todos los enteros desde $1$ hasta $2013$ . A cada subconjunto de $M$ se le da uno de $k$ colores disponibles, con la única condición de que si la unión de dos subconjuntos diferentes $A$ y $B$ es $M$ , entonces a $A$ y $B$ se les dan colores diferentes. ¿Cuál es el menor valor posible de $k$ ?

Nocycleland es un país con $500$ ciudades y $2013$ caminos de dos vías, cada uno de ellos conectando dos ciudades. Una ciudad $A$ es vecina de $B$ si hay un camino que los conecta, y una ciudad $A$ es cuasi-vecina de $B$ si hay una ciudad $C$ tal que $A$ es vecina de $C$ y $C$ es vecina de $B$ . Se sabe que en Nocycleland, no hay par de ciudades conectadas directamente con más de un camino, y no hay cuatro ciudades $A$ , $B$ , $C$ y $D$ tales que $A$ es vecina de $B$ , $B$ es vecina de $C$ , $C$ es vecina de $D$ , y $D$ es vecina de $A$ . Demostrar que hay al menos una ciudad que es cuasi-vecina de al menos $57$ otras ciudades.

En un triángulo $ABC$ , sea $M$ el punto medio de $BC$ e $I$ el incentro de $ABC$ . Si $IM$ = $IA$ , hallar la menor medida posible de $\angle{AIM}$ .

Cuatro puntos distintos están marcados en una línea. Para cada punto, se calcula la suma de las distancias desde dicho punto a los otros tres; obteniendo en total 4 números. Decidir si estos 4 números pueden ser, en algún orden: a) $29,29,35,37$ b) $28,29,35,37$ c) $28,34,34,37$

Un entero positivo $n$ es $inverosimil$ si existen $n$ enteros no necesariamente distintos tales que la suma y el producto de estos enteros son iguales a $n$. ¿Cuántos enteros positivos menores o iguales a $2022$ son $inverosímiles$?

Esteban el alquimista tiene $8088$ piezas de cobre, $6066$ piezas de bronce, $4044$ piezas de plata y $2022$ piezas de oro. Puede tomar dos piezas de diferentes metales y usar un martillo mágico para convertirlas en dos piezas de diferentes metales que él toma y diferentes entre sí. Encuentra el mayor número de piezas de oro que Esteban puede obtener después de usar el martillo mágico un número finito de veces. $\textbf{Note:}$ Si Esteban toma una pieza de cobre y una pieza de bronce, entonces las convierte en una pieza de plata y una de oro.

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un rectángulo y sean $S_1,S_2,S_3,S_4$ cuatro circunferencias dentro del rectángulo tales que $S_k$ y $S_{k+1}$ son tangentes entre sí y tangentes al lado $A_kA_{k+1}$ para $k=1,2,3,4$, donde $A_5=A_1$ y $S_5=S_1$. Pruebe que $A_1A_2A_3A_4$ es un cuadrado.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$. Sea $D$ la intersección de $AO$ y $BH$. Sea $P$ el punto en $AB$ tal que $PH=PD$. Pruebe que los puntos $B, D, O$ y $P$ están en una circunferencia.