Sean $m,n$ enteros positivos. Encuentre el entero positivo mínimo $N$ que satisfaga la siguiente condición. Si existe un conjunto $S$ de enteros que contiene un sistema completo de residuos módulo $m$ tal que $| S | = N$, entonces existe un conjunto no vacío $A \subseteq S$ tal que $n\mid {\sum\limits_{x \in A} x }$ .

Para cualquier entero positivo $n$ y $0 \leqslant i \leqslant n$, denotamos $C_n^i \equiv c(n,i)\pmod{2}$, donde $c(n,i) \in \left\{ {0,1} \right\}$. Define \[f(n,q) = \sum\limits_{i = 0}^n {c(n,i){q^i}}\] donde $m,n,q$ son enteros positivos y $q + 1 \ne {2^\alpha }$ para cualquier $\alpha \in \mathbb N$. Demuestre que si $f(m,q)\left| {f(n,q)} \right.$, entonces $f(m,r)\left| {f(n,r)} \right.$ para cualquier entero positivo $r$.

Sea $n \geqslant 2$ un entero. Hay $n$ conjuntos finitos ${A_1},{A_2},\ldots,{A_n}$ que satisfacen la condición \[\left| {{A_i}\Delta {A_j}} \right| = \left| {i - j} \right| \quad \forall i,j \in \left\{ {1,2,...,n} \right\}.\] Encuentre el mínimo de $\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{A_i}} \right|} $ .

Sea $0 < \alpha, \beta, \gamma < \frac{\pi}{2}$ y $\sin^{3} \alpha + \sin^{3} \beta + \sin^3 \gamma = 1$ . Demuestre que\n\[ \tan^{2} \alpha + \tan^{2} \beta + \tan^{2} \gamma \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2} . \]

(1) Encuentre el número posible de raíces para la ecuación $|x + 1| + |x + 2| + |x + 3| = a$ , donde $x \in R$ y $a$ es un parámetro. (2) Sea $\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ una progresión aritmética, $n \in \mathbb{N}$ , y satisface la condición\n\[ \sum^{n}_{i=1}|a_i| = \sum^{n}_{i=1}|a_{i} + 1| = \sum^{n}_{i=1}|a_{i} - 2| = 507. \]\nEncuentre el valor máximo de $n$ .

Sea $P(A)$ la media aritmética de todos los elementos del conjunto $A = \{ a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ , es decir, $P(A) = \frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}a_i$ . Denotamos $B$ como 'subconjunto equilibrado' de $A$ , si $B$ es un subconjunto no vacío de $A$ y $P(B) = P(A)$ . Sea el conjunto $M = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$ . Encuentre el número de todos los 'subconjuntos equilibrados' de $M$ .

La línea $l$ es tangente al círculo unitario $S$ en el punto $P$ . El punto $A$ y el círculo $S$ están en el mismo lado de $l$ , y la distancia desde $A$ a $l$ es $h$ ( $h > 2$ ) . Se dibujan dos tangentes del círculo $S$ desde $A$ , e intersecan la línea $l$ en los puntos $B$ y $C$ respectivamente. Encuentre el valor de $PB \cdot PC$ .

Encuentre todas las soluciones enteras positivas $(a, b, c)$ a la función $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2005$ , donde $a \leq b \leq c$ .

Sea $n$ un entero positivo, defina $M = \{ 1, 2, \ldots, 2n \}$ . Encuentre el entero positivo mínimo $k$ tal que para cualquier subconjunto $A$ (con $k$ elementos) del conjunto $M$ , existen cuatro elementos distintos por pares en $A$ cuya suma es $4n + 1$ .

El círculo $C$ (con centro $O$ ) no tiene un punto en común con la línea $l$ . Dibuje $OP$ perpendicular a $l$ , $P \in l$ . Sea $Q$ un punto en $l$ ( $Q$ es diferente de $P$ ) , $QA$ y $QB$ son tangentes al círculo $C$ , e intersecan el círculo en $A$ y $B$ respectivamente. $AB$ interseca $OP$ en $K$ . $PM$ , $PN$ son perpendiculares a $QB$ , $QA$ , respectivamente, $M \in QB$ , $N \in QA$ . Demuestre que el segmento $KP$ es bisecado por la línea $MN$ .