Se sabe que los $n$ clientes del comerciante viven en lugares ubicados a lo largo de la carretera de circunvalación. De estos, $k$ clientes tienen deudas con el comerciante por $a_1,a_2,...,a_k$ rublos, y el comerciante debe a los $n-k$ clientes restantes, cuyas deudas son $b_1,b_2,...,b_{n-k}$ rublos, además, $a_1+a_2+...+a_k=b_1+b_2+...+b_{n-k}$ . Demuestre que un comerciante que no tiene dinero puede pagar todas sus deudas y haber pagado todas las deudas de los clientes, comenzando una caminata del cliente a lo largo de la carretera desde uno de los puntos y sin perderse a ninguno de sus clientes.

Demuestre que la ecuación $(\sqrt5 +1)^{2x}+ (\sqrt5 -1)^{2x}=2^x(y^2+2)$ tiene un número infinito de soluciones en números naturales.

Sea $x_1=a, x_2=a^{x_1}, ..., x_n=a^{x_{n-1}}$ donde $a>1$ . ¿Cuál es el valor máximo de $a$ para el cual existe $\lim_{n\to \infty} x_n$ y cuál es este límite?

Dé una prueba geométrica de la afirmación de que la línea de plegado en una hoja de papel es recta.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $I$ y $O$ su incentro y circuncentro respectivamente. Sea $\omega_A$ el círculo que pasa por $B$ y $C$ que es tangente al incírculo del triángulo $ABC$ ; los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se definen de manera similar. Los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se intersecan en un punto $A'$ distinto de $A$ ; los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera similar. Demuestra que las líneas $AA',BB'$ y $CC'$ son concurrentes en un punto en la línea $IO$ .

Dado un entero positivo $n\ge 3$ , colorea cada celda de un arreglo cuadrado de $n\times n$ con uno de $\lfloor (n+2)^2/3\rfloor$ colores, usando cada color al menos una vez. Demuestra que hay algún subarreglo rectangular de $1\times 3$ o $3\times 1$ cuyas tres celdas están coloreadas con tres colores diferentes.

Demuestra que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $2^{2^n+1}+1$ es divisible por $n$ pero $2^n+1$ no lo es.

Cada entero positivo está coloreado de rojo o azul. Una función $f$ del conjunto de enteros positivos a sí mismo tiene las siguientes dos propiedades: (a) si $x\le y$ , entonces $f(x)\le f(y)$ ; y (b) si $x,y$ y $z$ son enteros positivos (no necesariamente distintos) del mismo color y $x+y=z$ , entonces $f(x)+f(y)=f(z)$ . Demuestra que existe un número positivo $a$ tal que $f(x)\le ax$ para todos los enteros positivos $x$ .

Dado un triángulo no isósceles $ABC$ , sean $D,E$ , y $F$ los puntos medios de los lados $BC,CA$ , y $AB$ respectivamente. El círculo $BCF$ y la línea $BE$ se intersecan de nuevo en $P$ , y el círculo $ABE$ y la línea $AD$ se intersecan de nuevo en $Q$ . Finalmente, las líneas $DP$ y $FQ$ se intersecan en $R$ . Demuestra que el centroide $G$ del triángulo $ABC$ se encuentra en el círculo $PQR$ .

Dado un número finito de niños y niñas, un conjunto sociable de niños es un conjunto de niños tal que cada niña conoce al menos a un niño en ese conjunto; y un conjunto sociable de niñas es un conjunto de niñas tal que cada niño conoce al menos a una niña en ese conjunto. Demuestra que el número de conjuntos sociables de niños y el número de conjuntos sociables de niñas tienen la misma paridad. (Se asume que el conocimiento es mutuo.)