La secuencia infinita $a_1,a_2,a_3,\ldots$ de enteros positivos se define de la siguiente manera: $a_1=1$, y para cada $n \ge 2$, $a_n$ es el entero positivo más pequeño, distinto de $a_1,a_2, \ldots , a_{n-1}$ tal que: $$\sqrt{a_n+\sqrt{a_{n-1}+\ldots+\sqrt{a_2+\sqrt{a_1}}}} $$ es un entero. Demostrar que todos los enteros positivos aparecen en la secuencia $a_1,a_2,a_3,\ldots$

Sean $a$, $b$ y $c$ enteros positivos. Se definen tres secuencias de la siguiente manera: $a_1=a$, $b_1=b$, $c_1=c$ $a_{n+1}=\lfloor{\sqrt{a_nb_n}}\rfloor$, $\:b_{n+1}=\lfloor{\sqrt{b_nc_n}}\rfloor$, $\:c_{n+1}=\lfloor{\sqrt{c_na_n}}\rfloor$ para $n \ge 1$ Demostrar que para cualesquiera $a$, $b$, $c$, existe un entero positivo $N$ tal que $a_N=b_N=c_N$. Encontrar el menor $N$ tal que $a_N=b_N=c_N$ para alguna elección de $a$, $b$, $c$ tales que $a \ge 2$ e $y b+c=2a-1$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Se eligen los puntos $X$ e $Y$ tales que: $\angle XAB = \angle YCB = 90^\circ$ $\angle ABC = \angle BXA = \angle BYC$ $X$ y $C$ están en semiplanos diferentes con respecto a $AB$ $Y$ y $A$ están en semiplanos diferentes con respecto a $BC$ Demostrar que $O$ es el punto medio de $XY$.

Sea $n$ un entero positivo. ¿De cuántas maneras se puede embaldosar una cuadrícula de $4 \times 4n$ con el siguiente tetromino? [asy] size(4cm); draw((1,0)--(3,0)--(3,1)--(0,1)--(0,0)--(1,0)--(1,2)--(2,2)--(2,0)); [/asy]

Sea $A(XYZ)$ el área del triángulo $XYZ$. Un polígono convexo no regular $P_1 P_2 \ldots P_n$ se dice guayaco si existe un punto $O$ en su interior tal que $$A(P_1OP_2) = A(P_2OP_3) = \cdots = A(P_nOP_1).$$ Demuestra que, para cada entero $n \ge 3$, existe un polígono guayaco de $n$ lados.

Un entero positivo $n$ se dice guayaquileño si la suma de los dígitos de $n$ es igual a la suma de los dígitos de $n^2$. Encuentra todos los valores posibles que puede tomar la suma de los dígitos de un número guayaquileño.

Dentro del triángulo $ABC$ se da un punto $M$ . Encuentre los puntos $P,Q$ y $R$ que se encuentran en los lados $AB,BC$ y $AC$ respectivamente y de tal manera que la suma $MP+PQ+QR+RM$ sea la más pequeña.

Encuentre una función continua $f(x)$ que satisfaga la identidad $f(x)-f(ax)=x^n-x^m$ , donde $n,m\in N , 0<a<1$

Dado un círculo de radio $r= 1995$ . Demuestre que a su alrededor puede describir exactamente $16$ triángulos pitagóricos primitivos. El triángulo pitagórico primitivo es un triángulo rectángulo, las longitudes de cuyos lados se expresan mediante números enteros coprimos.

Un conjunto que consta de $n$ puntos de un plano se denomina $n$ - punto isósceles si tres cualquiera de sus puntos están ubicados en los vértices de un triángulo isósceles. Encuentre todos los números naturales para los que existen $n$ - puntos isósceles.