El juego Battleship se juega en una cuadrícula de $10\times10$. Una flota consta de 10 barcos: uno que ocupa $4$ celdas, dos que ocupan $3$ celdas cada uno, tres que ocupan $2$ celdas cada uno y cuatro que ocupan $1$ celda cada uno (ver figura). Los barcos se pueden colocar horizontal o verticalmente, pero no deben tocarse entre sí, ni siquiera en un vértice. ¿Es posible colocar dos flotas en el mismo tablero de acuerdo con estas reglas?

Un náufrago está construyendo una balsa rectangular $ABCD$ . Fija un mástil perpendicular a la balsa, con cuerdas que pasan desde la parte superior del mástil (punto $S$ en la figura) hasta las cuatro esquinas de la balsa. La cuerda $SA$ mide $8$ metros, la cuerda $SB$ mide $2$ metros y la cuerda $SC$ mide $14$ metros. Calcula la longitud de la cuerda $SD$ .

Beto tiene un tablero de ajedrez rectangular donde el número de filas y columnas son números consecutivos (por ejemplo, $30$ y $31$). Ana tiene baldosas de dos colores y diferentes tamaños: las baldosas rojas son rectángulos de $5 \times 7$ y las baldosas azules son rectángulos de $3 \times 5$ . Ana se dio cuenta de que puede cubrir todos los cuadrados del tablero de Beto usando solo baldosas rojas, que pueden rotarse, pero no deben superponerse ni extenderse más allá del tablero. Luego, se dio cuenta de que también puede hacer lo mismo usando solo baldosas azules. ¿Cuál es el número mínimo de cuadrados que puede tener el tablero de Beto?

Un número es especial si su dígito de las decenas es $9$ . Por ejemplo, $499$ y $1092$ son especiales, pero $509$ no lo es. Diego tiene varias tarjetas. En cada una de ellas, escribió un número especial (puede escribir el mismo número en más de una tarjeta). Cuando suma los números de las tarjetas, el total es $2024$ . ¿Cuál es el número más pequeño de tarjetas que puede tener Diego?

Determina todos los números de dos dígitos que satisfacen la siguiente condición: si multiplicamos sus dos dígitos, el resultado es igual a la mitad del número. Por ejemplo, $24$ no satisface la condición, porque $2 \times 4 = 8$ y $8$ no es la mitad de $24$ .

Un calamar se mueve en un tablero de la siguiente manera: avanza tres casillas en una dirección y luego dos casillas en una dirección perpendicular. Por ejemplo, en la figura de abajo, al hacer un movimiento, el calamar puede moverse a cualquiera de las $8$ casillas indicadas con flechas. Inicialmente, hay un calamar en cada una de las $35$ casillas de un tablero de $5 \times 7$ . Al mismo tiempo, cada calamar realiza exactamente un movimiento. ¿Cuál es el menor número posible de casillas vacías después de estos movimientos?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $M$ , $N$ , $P$ y $Q$ los puntos medios de los lados $AB$ , $CD$ , $BC$ y $DA$ respectivamente. La línea $MN$ intersecta los segmentos $AP$ y $CQ$ en los puntos $X$ e $Y$ , respectivamente. Suponga que $MX = NY$ . Demuestre que $\text{area}(ABCD) = 4 \cdot \text{area}(BXDY).$

Ana escribe una lista infinita de números usando el siguiente procedimiento. El primer número de la lista es un entero positivo $a$ elegido por Ana. A partir de ahí, cada número en la lista se obtiene calculando la suma de todos los enteros desde $1$ hasta el último número escrito. Por ejemplo, si $a = 3$ , la lista de Ana comienza como $3, 6, 21, 231, \dots$ porque $1 + 2 + 3 = 6$ , $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$ y $1 + 2 + 3 + \dots + 21 = 231$ . ¿Es posible que todos los números en la lista de Ana sean pares?

Decimos que un entero positivo $n$ es bueno si el resultado de multiplicar los primeros $n$ enteros impares positivos consiste solo de los dígitos $1$ , $3$ , $5$ y $9$ . Por ejemplo, $n = 3$ es bueno porque $1 \times 3 \times 5 = 15$ , pero $n = 4$ no es bueno porque $1 \times 3 \times 5 \times 7 = 105$ . Determina todos los números buenos.

Una cuadrícula de $4\times 8$ se divide en $32$ cuadrados unitarios. Hay baldosas cuadradas de tamaños $1 \times 1$ , $2 \times 2$ , $3 \times 3$ y $4 \times 4$ . El objetivo es cubrir completamente la cuadrícula usando exactamente $n$ de estas baldosas. ¿Es posible hacer esto si $n = 19$ ? ¿Es posible hacer esto si $n = 14$ ? ¿Es posible hacer esto si $n = 7$ ? Nota: Las baldosas no pueden superponerse ni extenderse más allá de la cuadrícula.