Demostrar: (a) Existen infinitas ternas de enteros positivos $m, n, p$ tales que $4mn - m- n = p^2 - 1.$ (b) No existen enteros positivos $m, n, p$ tales que $4mn - m- n = p^2.$

Encontrar todas las soluciones del siguiente sistema de $n$ ecuaciones en $n$ variables: \[\begin{array}{c}\ x_1|x_1| - (x_1 - a)|x_1 - a| = x_2|x_2|,x_2|x_2| - (x_2 - a)|x_2 - a| = x_3|x_3|,\ \vdots \ x_n|x_n| - (x_n - a)|x_n - a| = x_1|x_1|\end{array}\] donde $a$ es un número dado.

Dada la pirámide $ABCD$ . Sea $O$ el punto medio de la arista $AC$ . Dado que $DO$ es la altura de la pirámide, $AB=BC=2DO$ y el ángulo $ABC$ es recto. Corte esta pirámide en $8$ pirámides iguales y similares a ella.

Se consideran todas las posibles secuencias de números $-1$ y $+1$ de longitud $100$. Para cada una de ellas, se calcula el cuadrado de la suma de los términos. Encuentre el promedio aritmético de los valores resultantes.

Demuestre que la secuencia de los primeros dígitos de los números de la forma $2^n+3^n$ no es periódica.

Un triángulo rectángulo está inscrito en la parábola $y=x^2$ . Demuestre que su hipotenusa no es menor que $2$ .

Dado el tetraedro $ABCD$ , cuyas aristas opuestas son iguales, es decir, $AB=CD, AC=BD$ y $BC=AD$ . Demuestre que existen exactamente $6$ planos que intersectan los ángulos triangulares del tetraedro y dividen la superficie total y el volumen de este tetraedro por la mitad.

El segmento de longitud $\ell$ con los extremos en la frontera de un triángulo divide el área de ese triángulo por la mitad. Demuestre que $\ell >r\sqrt2$ , donde $r$ es el radio del círculo inscrito del triángulo.

Resuelva la ecuación $(x^3-1000)^{1/2}=(x^2+100)^{1/3}$.

Escriba el número $\frac{1997}{1998}$ como una suma de diferentes números, inversos a los naturales.