Encuentre el valor mínimo del número real $m$ , tal que la desigualdad \[m(a^3+b^3+c^3) \ge 6(a^2+b^2+c^2)+1\] se cumple para todos los números reales positivos $a,b,c$ donde $a+b+c=1$ .

Dado cualquier entero positivo $n$ , sea $a_n$ la raíz real de la ecuación $x^3+\dfrac{x}{n}=1$ . Demuestre que (1) $a_{n+1}>a_n$ ; (2) $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(i+1)^2a_i} <a_n$ .

Hay una baraja estándar de $52$ cartas sin comodines. La baraja consta de cuatro palos (diamantes, tréboles, corazones, espadas) que incluyen trece cartas en cada uno. Para cada palo, las trece cartas están clasificadas desde ' $2$ ' hasta ' $A$ ' (es decir, $2, 3,\ldots , Q, K, A$ ) . Un par de cartas se llama ' color ' si estas dos cartas pertenecen al mismo palo y sus rangos son adyacentes. Además, ' $A$ ' y ' $2$ ' se consideran adyacentes (es decir, 'A' también se considera como ' $1$ ' ). Por ejemplo, espadas $A$ y espadas $2$ forman un ' color '; diamantes $10$ y diamantes $Q$ no son un par de ' color '. Determine cuántas formas hay de elegir trece cartas de la baraja de tal manera que todos los rangos estén incluidos pero no exista ' color ' en ellas.

En $\triangle ABC$ , $\angle ABC=90^{\circ}$ . Los puntos $D,G$ se encuentran en el lado $AC$ . Los puntos $E, F$ se encuentran en el segmento $BD$ , tal que $AE \perp BD $ y $GF \perp BD$ . Demuestre que si $BE=EF$ , entonces $\angle ABG=\angle DFC$ .

Suponga que $a>b>0$ , $f(x)=\dfrac{2(a+b)x+2ab}{4x+a+b}$ . Demuestre que existe un único número positivo $x$ , tal que $f(x)=\left(\dfrac{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}{2} \right)^3$ .

Sea $F = \max_{1 \leq x \leq 3} |x^3 - ax^2 - bx - c|$ . Cuando $a$ , $b$ , $c$ recorren todos los números reales, encuentra el menor valor posible de $F$ .

En el $\bigtriangleup ABC$ equilátero , $D$ es un punto en el lado $BC$ . $O_1$ y $I_1$ son el circuncentro y el incentro de $\bigtriangleup ABD$ respectivamente, y $O_2$ y $I_2$ son el circuncentro y el incentro de $\bigtriangleup ADC$ respectivamente. $O_1I_1$ intersecta a $O_2I_2$ en $P$ . Encuentra el lugar geométrico del punto $P$ mientras $D$ se mueve a lo largo de $BC$ .

Para un número natural dado $n > 3$ , los números reales $x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n + 1}, x_{n + 2}$ satisfacen las condiciones $0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n < x_{n + 1} < x_{n + 2}$ . Encuentra el valor mínimo posible de \n\[\frac{(\sum _{i=1}^n \frac{x_{i + 1}}{x_i})(\sum _{j=1}^n \frac{x_{j + 2}}{x_{j + 1}})}{(\sum _{k=1}^n \frac{x_{k + 1} x_{k + 2}}{x_{k + 1}^2 + x_k x_{k + 2}})(\sum _{l=1}^n \frac{x_{l + 1}^2 + x_l x_{l + 2}}{x_l x_{l + 1}})}\] y encuentra todas las $(n + 2)$ - tuplas de números reales $(x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n + 1}, x_{n + 2})$ que dan este valor.

Para el entero positivo $x>1$ , defina el conjunto $S_x$ como $$S_x=\{p^\alpha|p \textup{ es uno de los divisores primos de }x,\alpha \in \mathbb{N},p^\alpha|x,\alpha \equiv v_p(x)(\textup{mod} 2)\},$$ donde $v_p(n)$ es la potencia del divisor primo $p$ en el entero positivo $n.$ Sea $f(x)$ la suma de todos los elementos de $S_x$ cuando $x>1,$ y $f(1)=1.$ Sea $m$ un entero positivo dado, y la secuencia $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ satisface que para cualquier entero positivo $n>m,$ $a_{n+1}=\max\{ f(a_n),f(a_{n-1}+1),\cdots,f(a_{n-m}+m)\}.$ Pruebe que (1) existe una constante $A,B(0<A<1),$ tal que cuando el entero positivo $x$ tiene al menos dos divisores primos diferentes, $f(x)<Ax+B$ se cumple; (2) existe un entero positivo $N,l$ , tal que para cualquier entero positivo $n\geq N ,a_{n+l}=a_n$ se cumple.

Amy y Bob eligen números de $0,1,2,\cdots,81$ por turnos y Amy elige el número primero. Cada vez, el que elige el número elige un número de los números restantes. Cuando se eligen los $82$ números, sea $A$ la suma de todos los números que Amy elige, y sea $B$ la suma de todos los números que Bob elige. Durante el proceso, Amy intenta hacer que $\gcd(A,B)$ sea lo más grande posible, y Bob intenta hacer que $\gcd(A,B)$ sea lo más pequeño posible. Suponga que Amy y Bob toman la mejor estrategia de cada uno, respectivamente, determine $\gcd(A,B)$ cuando se eligen los $82$ números.