Encuentra un par de enteros positivos $a,b$ tal que $ab(a+b)$ no sea divisible por $7$ , pero $(a+b)^7-a^7-b^7$ sea divisible por $7^7$ .

Sea $n$ un entero positivo y $a_1, a_2, \dots , a_{2n}$ enteros mutuamente distintos. Encuentra todos los enteros $x$ que satisfacen \[(x - a_1) \cdot (x - a_2) \cdots (x - a_{2n}) = (-1)^n(n!)^2.\]

Demuestre que el producto de cinco enteros positivos consecutivos no puede ser el cuadrado de un entero.

Sean $a, b, c$ números positivos con $\sqrt a +\sqrt b +\sqrt c = \frac{\sqrt 3}{2}$ . Demuestre que el sistema de ecuaciones \n\[\sqrt{y-a}+\sqrt{z-a}=1,\] \n\[\sqrt{z-b}+\sqrt{x-b}=1,\] \n\[\sqrt{x-c}+\sqrt{y-c}=1\]\ntiene exactamente una solución $(x, y, z)$ en números reales.

Dados los puntos $O$ y $A$ en el plano. Cada punto en el plano está coloreado con uno de un número finito de colores. Dado un punto $X$ en el plano, el círculo $C(X)$ tiene centro $O$ y radio $OX+{\angle AOX\over OX}$ , donde $\angle AOX$ se mide en radianes en el rango $[0,2\pi)$ . Demuestre que podemos encontrar un punto $X$ , no en $OA$ , tal que su color aparece en la circunferencia del círculo $C(X)$ .

(a) Decida si los campos del tablero de ajedrez de $8 \times 8$ pueden numerarse con los números $1, 2, \dots , 64$ de tal manera que la suma de los cuatro números en cada una de sus partes de una de las formas sea divisible por cuatro. (b) Resuelva el problema análogo para.

Sea $c$ un entero positivo. La secuencia $\{f_n\}$ se define como sigue: \n\[f_1 = 1, f_2 = c, f_{n+1} = 2f_n - f_{n-1} + 2 \quad (n \geq 2).\]\nDemuestre que para cada $k \in \mathbb N$ existe $r \in \mathbb N$ tal que $f_kf_{k+1}= f_r.$

Demostrar que $0\le yz+zx+xy-2xyz\le{7\over27}$ , donde $x,y$ y $z$ son números reales no negativos que satisfacen $x+y+z=1$ .

Sea $ d$ la suma de las longitudes de todas las diagonales de un polígono convexo plano con $ n$ vértices (donde $ n>3$ ) . Sea $ p$ su perímetro. Demostrar que: \\[ n-3<{2d\over p}<\Bigl[{n\over2}\Bigr]\cdot\Bigl[{n+1\over 2}\Bigr]-2,\\] donde $ [x]$ denota el mayor entero que no excede a $ x$ .

Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que \\[n=d_6^2+d_7^2-1,\\] donde $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$ son todos los divisores positivos del número $n.$