Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ . Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Sea $S$ el punto medio del arco $CB$ de $\Omega$ que contiene a $A$ . La perpendicular desde $A$ a $BC$ se encuentra con $BS$ en $D$ y se encuentra con $\Omega$ de nuevo en $E \neq A$ . La recta que pasa por $D$ paralela a $BC$ se encuentra con la recta $BE$ en $L$ . Denotemos la circunferencia circunscrita del triángulo $BDL$ por $\omega$ . Sea $\omega$ se encuentra con $\Omega$ de nuevo en $P \neq B$ . Demostrar que la recta tangente a $\omega$ en $P$ se encuentra con la recta $BS$ en la bisectriz del ángulo interno de $\angle BAC$ .

Determinar todos los enteros compuestos $n>1$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $d_1$ , $d_2$ , $\ldots$ , $d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$ , entonces $d_i$ divide a $d_{i+1} + d_{i+2}$ para todo $1 \leq i \leq k - 2$ .

Determina todos los pares $(a, b)$ de números reales positivos con $a \neq 1$ tales que \[\log_a b < \log_{a+1} (b + 1).\]

La tabla armónica es un arreglo triangular: $1$ $\frac 12 \qquad \frac 12$ $\frac 13 \qquad \frac 16 \qquad \frac 13$ $\frac 14 \qquad \frac 1{12} \qquad \frac 1{12} \qquad \frac 14$ Donde $a_{n,1} = \frac 1n$ y $a_{n,k+1} = a_{n-1,k} - a_{n,k}$ para $1 \leq k \leq n-1.$ Encuentra la media armónica de la fila $1985^{th}$.

Dentro del triángulo $ABC$ hay tres círculos $k_1, k_2, k_3$ cada uno de los cuales es tangente a dos lados del triángulo y a su incírculo $k$ . Los radios de $k_1, k_2, k_3$ son $1, 4$ , y $9$ . Determina el radio de $k.$

En una permutación $(x_1, x_2, \dots , x_n)$ del conjunto $1, 2, \dots , n$ llamamos a un par $(x_i, x_j )$ discordante si $i < j$ y $x_i > x_j$ . Sea $d(n, k)$ el número de tales permutaciones con exactamente $k$ pares discordantes. Encuentra $d(n, 2)$ y $d(n, 3).$

Sean $a,b,c,d$ enteros impares tales que $0<a<b<c<d$ y $ad=bc$ . Demuestra que si $a+d=2^k$ y $b+c=2^m$ para algunos enteros $k$ y $m$ , entonces $a=1$ .

Los ángulos de un triángulo dado $ABC$ son todos menores que $120^\circ$ . Triángulos equiláteros $AFB, BDC$ y $CEA$ son construidos en el exterior de $ABC$ . (a) Prueba que las líneas $AD, BE$ , y $CF$ pasan por un punto $S.$ (b) Prueba que $SD + SE + SF = 2(SA + SB + SC).$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con la línea $CD$ siendo tangente al círculo de diámetro $AB$ . Prueba que la línea $AB$ es tangente al círculo de diámetro $CD$ si y solo si las líneas $BC$ y $AD$ son paralelas.

Prueba que el volumen de un tetraedro inscrito en un cilindro circular recto de volumen $1$ no excede $\frac{2}{3 \pi}.$