Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo acutángulo con alturas $AD$ , $BE$ , $CF$ y ortocentro $H$ . El círculo $\odot V$ es el circuncírculo de $\vartriangle DE F$ . Sean los segmentos $FD$ , $BH$ se intersecan en el punto $P$ . Sean los segmentos $ED$ , $HC$ se intersecan en el punto $Q$ . Sea $K$ un punto en $AC$ tal que $VK \perp CF$ . a) Demuestra que $\vartriangle PQH \sim \vartriangle AKV$ . b) Sea la línea $PQ$ interseca a $\odot V$ en los puntos $I,G$ . Demuestra que los puntos $B,I,H,G,C$ son concíclicos

Como se muestra en la figura, se sabe que $BC= AC$ en $\vartriangle ABC$ , $M$ es el punto medio de $AB$ , los puntos $D$ , $E$ se encuentran en $AB$ tal que $\angle DCE= \angle MCB$ , el círculo circunscrito de $\vartriangle BDC$ y el círculo circunscrito de $\vartriangle AEC$ se intersecan en el punto $F $ ( diferente del punto $C$ ) , el punto $H$ se encuentra en $AB$ tal que la línea recta $CM$ biseca el segmento de línea $HF$ . Sean los circuncentros de $\vartriangle HFE$ y $\vartriangle BFM$ $O_1$ , $O_2$ respectivamente. Demuestra que $O_1O_2 \perp CF$ .

$ABCD$ está inscrito en un círculo unitario $\Gamma$ . Sean $\Omega_1$ , $\Omega_2$ las circunferencias circunscritas de $\vartriangle ABD$ , $\vartriangle CBD$ respectivamente. Los círculos $\Omega_1$ , $\Omega_2$ son tangentes al segmento $BD$ en $M$ , $N$ respectivamente. La línea $AM$ interseca a $\Gamma$ , $\Omega_1$ nuevamente en los puntos $X_1$ , $X_2$ respectivamente (diferente de $A$ , $M$ ) . Sea $\omega_1$ el círculo que pasa por $X_1$ , $X_2$ y es tangente a $\Omega_1$ . La línea $CN$ interseca a $\Gamma$ , $\Omega_2$ nuevamente en los puntos $Y_1$ , $Y_2$ respectivamente (diferente de $C$ , $N$ ) . Sea $\omega_2$ el círculo que pasa por $Y_1$ , $Y_2$ y es tangente a $\Omega_2$ . Los círculos $\Omega_1$ , $\Omega_2$ , $\omega_1$ , $\omega_2$ tienen radios $R_1$ , $R_2$ , $r_1$ , $r_2$ respectivamente. Demuestra que $$r_1+r_2-R_1-R_2=1.$$

Como se muestra en la figura, $BQ$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita de $ABC$ , y $D$ es el punto medio del arco $BC$ (excluyendo el punto $A$ ) . La bisectriz del ángulo exterior de $\angle BAC$ interseca y la extensión de $BC$ en el punto $E$ . El rayo $EQ$ interseca a $\odot (ABC)$ en el punto $P$ . El punto $S$ se encuentra en $PQ$ de modo que $SA = SP$ . El punto $T$ se encuentra en $BC$ tal que $TB = TD$ . Demuestra que $TS \perp SE$ .

Todas las aristas de un poliedro están pintadas de rojo o amarillo. Para un ángulo de una cara, si las aristas que lo determinan son de diferentes colores, entonces el ángulo se llama excéntrico. La excentricidad de un vértice $A$ , a saber $S_A$ , se define como el número de ángulos excéntricos que tiene. Demuestre que existen dos vértices $B$ y $C$ tales que $S_B + S_C \leq 4$ .

Sea $f$ una función $f: \mathbb{N} \cup \{0\} \mapsto \mathbb{N},$ y satisface las siguientes condiciones: (1) $f(0) = 0, f(1) = 1,$ (2) $f(n+2) = 23 \cdot f(n+1) + f(n), n = 0,1, \ldots.$ Demuestre que para cualquier $m \in \mathbb{N}$ , existe un $d \in \mathbb{N}$ tal que $m | f(f(n)) \Leftrightarrow d | n.$

Elegimos 5 puntos $A_1, A_2, \ldots, A_5$ en una circunferencia de radio 1 y centro $O.$ $P$ es un punto dentro del círculo. Denotamos $Q_i$ como la intersección de $A_iA_{i+2}$ y $A_{i+1}P$ , donde $A_7 = A_2$ y $A_6 = A_1.$ Sea $OQ_i = d_i, i = 1,2, \ldots, 5.$ Encuentre el producto $\prod^5_{i=1} A_iQ_i$ en términos de $d_i.$

Etiqueta los lados de un $n$ - gono regular en dirección a las agujas del reloj en orden 1,2,..,n. Determina todos los enteros n ( $n\geq 4$ ) que satisfacen las siguientes condiciones: (1) $n-3$ diagonales no intersecantes en el $n$ - gono son seleccionadas, que subdividen el $n$ - gono en $n-2$ triángulos no superpuestos; (2) cada una de las $n-3$ diagonales elegidas están etiquetadas con un entero, tal que la suma de los números etiquetados en tres lados de cada triángulo en (1) es igual a los otros;

Para cualquier $n,T \geq 2, n, T \in \mathbb{N}$ , hallar todos los $a \in \mathbb{N}$ tales que $\forall a_i > 0, i = 1, 2, \ldots, n$ , tenemos \[\sum^n_{k=1} \frac{a \cdot k + \frac{a^2}{4}}{S_k} < T^2 \cdot \sum^n_{k=1} \frac{1}{a_k},\] donde $S_k = \sum^k_{i=1} a_i.$

Se da una tabla de $(3n + 1) \times (3n + 1)$ $(n \in \mathbb{N})$. Demostrar que al eliminar cualquiera de sus cuadrados se obtiene una forma que se puede cortar en piezas de la siguiente forma y sus rotaciones: forma ''L' formada al cortar un cuadrado de cuadrados de $2 \times 2$.