Describir qué enteros positivos no pertenecen al conjunto \[E = \left\{ \lfloor n+ \sqrt n +\frac 12 \rfloor | n \in \mathbb N\right\}.\]

De una bolsa que contiene 5 pares de calcetines, cada par de un color diferente, se extrae una muestra aleatoria de 4 calcetines individuales. Cualquier par completo en la muestra se descarta y se reemplaza por un nuevo par extraído de la bolsa. El proceso continúa hasta que la bolsa está vacía o hay 4 calcetines de diferentes colores fuera de la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de la última alternativa?

¿Es posible particionar el espacio euclidiano $3$ - dimensional en $1979$ subconjuntos mutuamente isométricos?

Para un conjunto finito $E$ de cardinalidad $n \geq 3$, sea $f(n)$ denota el número máximo de subconjuntos de $3$ elementos de $E$, cualesquiera dos de ellos teniendo exactamente un elemento común. Calcular $f(n)$.

Demostrar que en el plano euclidiano todo polígono regular que tiene un número par de lados puede ser diseccionado en rombos. (Un rombo es un cuadrilátero cuyos cuatro lados son todos de igual longitud).

Sean $ a$ y $ b$ dos enteros positivos tales que $ a \cdot b + 1$ divide a $ a^{2} + b^{2}$ . Muestra que $ \frac {a^{2} + b^{2}}{a \cdot b + 1}$ es un cuadrado perfecto.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1,B_1,C_1$ puntos interiores de $ABC$ tales que $BA_1=A_1C$ , $CB_1=B_1A$ , $AC_1=C_1B$ , y $$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ$$ Sean $BC_1$ y $CB_1$ se intersecan en $A_2,$ sean $CA_1$ y $AC_1$ se intersecan en $B_2,$ y sean $AB_1$ y $BA_1$ se intersecan en $C_2.$ Pruebe que si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces las tres circunferencias circunscritas de los triángulos $AA_1A_2, BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan por dos puntos comunes. (Nota: un triángulo escaleno es aquel en el que no hay dos lados que tengan la misma longitud.)

Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo japonés consiste en $1 + 2 + \dots + n$ círculos dispuestos en una forma triangular equilátera tal que para cada $i = 1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ , la fila $i^{th}$ contiene exactamente $i$ círculos, exactamente uno de los cuales está coloreado de rojo. Un camino ninja en un triángulo japonés es una secuencia de $n$ círculos obtenida comenzando en la fila superior, luego pasando repetidamente de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él y terminando en la fila inferior. En términos de $n$ , encuentre el mayor $k$ tal que en cada triángulo japonés hay un camino ninja que contiene al menos $k$ círculos rojos.

Sean $x_1,x_2,\dots,x_{2023}$ números reales positivos diferentes por pares tales que \[a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\dots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots+\frac{1}{x_n}\right)}\] es un entero para todo $n=1,2,\dots,2023.$ Demuestre que $a_{2023} \geqslant 3034.$

Para cada entero $k\geq 2$ , determinar todas las sucesiones infinitas de enteros positivos $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ para las cuales existe un polinomio $P$ de la forma \[ P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\dots + c_1 x+c_0, \] donde $c_0$ , $c_1$ , \dots, $c_{k-1}$ son enteros no negativos, tales que \[ P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k} \] para todo entero $n\geq 1$ .