El cuadrilátero cíclico $ABCD$ tiene longitudes de lados enteros positivos $AB$, $BC$, $CA$, $AD$. Se sabe que $AD=2005$, $\angle{ABC}=\angle{ADC} = 90^o$, y $\max \{ AB,BC,CD \} < 2005$. Determine los valores máximos y mínimos posibles para el perímetro de $ABCD$.

Sea $k$ un entero positivo. Demuestre que se puede particionar el conjunto $\{ 0,1,2,3, \cdots ,2^{k+1}-1 \}$ en dos subconjuntos disjuntos $\{ x_1,x_2, \cdots, x_{2k} \}$ y $\{ y_1, y_2, \cdots, y_{2k} \}$ tales que $\sum_{i=1}^{2^k} x_i^m =\sum_{i=1}^{2^k} y_i^m$ para todo $m \in \{ 1,2, \cdots, k \}$.

Sean $a_1,a_2 \dots a_n$ y $x_1, x_2 \dots x_n$ enteros y $r\geq 2$ un entero. Se sabe que $$\sum_{j=0}^{n} a_j x_j^k =0 \qquad \text{para} \quad k=1,2, \dots r.$$ Pruebe que $$\sum_{j=0}^{n} a_j x_j^m \equiv 0 \pmod m, \qquad \text{para todos}\quad m \in \{ r+1, r+2, \cdots, 2r+1 \}.$$

Sean $a$, $b$, $c$ números reales no negativos tales que $ab+bc+ca = \frac{1}{3}$. Pruebe que $$\frac{1}{a^{2}-bc+1}+\frac{1}{b^{2}-ca+1}+\frac{1}{c^{2}-ab+1}\leq 3 $$

El punto $P$ se encuentra dentro del triángulo $ABC$. Sean las proyecciones de $P$ sobre los lados $BC$, $CA$, $AB$ ser $D$, $E$, $F$ respectivamente. Sean las proyecciones de $A$ a las líneas $BP$ y $CP$ ser $M$ y $N$ respectivamente. Demuestre que $ME$, $NF$ y $BC$ son concurrentes.

Sea $\alpha$ un número real positivo dado, encuentre todas las funciones $f: N^{+} \rightarrow R$ tales que $f(k + m) = f(k) + f(m)$ se cumple para cualquier entero positivo $k$, $m$ que satisfaga $\alpha m \leq k \leq (\alpha + 1)m$.

Sea $n$ un entero positivo, y $x$ un número real positivo. Demuestre que $$\sum_{k=1}^{n} \left( x \left[\frac{k}{x}\right] - (x+1)\left[\frac{k}{x+1}\right]\right) \leq n,$$ donde $[x]$ denota el entero más grande que no excede a $x$.

Sean $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{6}$ ; $b_{1}$, $b_{2}$, …, $b_{6}$ y $c_{1}$, $c_{2}$, …, $c_{6}$ todas permutaciones de $1$, $2$, …, $6$, respectivamente. Encuentre el valor mínimo de $\sum_{i=1}^{6}a_{i}b_{i}c_{i}$.

Como se muestra en la figura, en el cuadrilátero $ABCD$ , $AB\perp BC$ , $AD\perp CD$ , sea $E$ un punto en la línea $BD$ tal que $EC = CA$ . La línea perpendicular en la línea $AC$ que pasa por $E$ , interseca la línea $AB$ en el punto $F$ , y la línea $AD$ en el punto $G$ . Sean $X$ e $Y$ los puntos medios de los segmentos de línea $AF$ y $AG$ respectivamente. Sean $Z$ y $W$ los puntos medios de los segmentos de línea $BE$ y $DE$ respectivamente. Demuestra que la circunferencia circunscrita de $\vartriangle WBX$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ZDY$ .

En el cuadrilátero $ABCD$ , $E$ y $F$ son los puntos medios de $AB$ y $CD$ , y $G$ es la intersección de $AD$ con $BC$ . $P$ es un punto dentro del cuadrilátero, tal que $PA=PB$ , $PC=PD$ , y $\angle APB+\angle CPD=180^{\circ}$ . Demuestra que $PG$ y $EF$ son paralelos.