Sea $n \geq 2$ un entero. Hallar la cardinalidad máxima de un conjunto $M$ de pares $(j, k)$ de enteros, $1 \leq j < k \leq n$, con la siguiente propiedad: Si $(j, k) \in M$, entonces $(k,m) \not \in M$ para cualquier $m.$

Sea $S$ un conjunto de $n^2 + 1$ intervalos cerrados ( $n$ un entero positivo). Demostrar que al menos una de las siguientes afirmaciones se cumple: (i) Existe un subconjunto $S'$ de $n+1$ intervalos de $S$ tal que la intersección de los intervalos en $S'$ no está vacía. (ii) Existe un subconjunto $S''$ de $n + 1$ intervalos de $S$ tal que dos intervalos cualesquiera de $S''$ son disjuntos.

El plano está dividido en cuadrados iguales por líneas paralelas; es decir, se da una red cuadrada. Sea $M$ un conjunto arbitrario de $n$ cuadrados de esta red. Demostrar que es posible elegir no menos de $n/4$ cuadrados de $M$ de tal manera que no haya dos de ellos que tengan un punto en común.

Consideramos un prisma que tiene como bases superior e inferior los pentágonos: $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ y $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$. Cada uno de los lados de los dos pentágonos y los segmentos $A_{i}B_{j}$ con $i,j=1,\ldots,5$ está coloreado de rojo o azul. En cada triángulo que tiene todos los lados coloreados existe un lado rojo y un lado azul. Demostrar que los 10 lados de las dos bases están coloreados del mismo color.

Demostrar que una pirámide $A_1A_2 \ldots A_{2k+1}S$ con aristas laterales iguales y ángulos espaciales iguales entre las paredes laterales adyacentes es regular.

Encuentra todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes reales para los cuales \[f(x)f(2x^2) = f(2x^3 + x).\]

Los números reales $\alpha_1 , \alpha_2, \alpha_3, \ldots, \alpha_n$ son positivos. Denotemos por $h = \frac{n}{1/\alpha_1 + 1/\alpha_2 + \cdots + 1/\alpha_n}$ la media armónica, $g=\sqrt[n]{\alpha_1\alpha_2\cdots \alpha_n}$ la media geométrica, y $a=\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots + \alpha_n}{n}$ la media aritmética. Demuestra que $h \leq g \leq a$ , y que cada una de las igualdades implica la otra.

La secuencia $(a_n)$ de números reales se define como sigue: \[a_1=1, \qquad a_2=2, \quad \text{y} \quad a_n=3a_{n-1}-a_{n-2} , \ \ n \geq 3.\] Demuestra que para $n \geq 3$ , $a_n=\left[ \frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \right] +1$ , donde $[x]$ denota el entero $p$ tal que $p \leq x < p + 1$ .

$M = (a_{i,j} ), \ i, j = 1, 2, 3, 4$ , es una matriz cuadrada de orden cuatro. Dado que: (i) para cada $i = 1, 2, 3,4$ y para cada $k = 5, 6, 7$ , \[a_{i,k} = a_{i,k-4};\] \[P_i = a_{1,}i + a_{2,i+1} + a_{3,i+2} + a_{4,i+3};\] \[S_i = a_{4,i }+ a_{3,i+1} + a_{2,i+2} + a_{1,i+3};\] \[L_i = a_{i,1} + a_{i,2} + a_{i,3} + a_{i,4};\] \[C_i = a_{1,i} + a_{2,i} + a_{3,i} + a_{4,i},\] (ii) para cada $i, j = 1, 2, 3, 4$ , $P_i = P_j , S_i = S_j , L_i = L_j , C_i = C_j$ , y (iii) $a_{1,1} = 0, a_{1,2} = 7, a_{2,1} = 11, a_{2,3} = 2$ , y $a_{3,3} = 15$ . Encuentra la matriz M.

Demuestra que $\frac 12 \cdot \sqrt{4\sin^2 36^{\circ} - 1}=\cos 72^\circ$.