Si $p$ y $q$ son números naturales tales que \[ \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \ldots -\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}, \] demuestra que $p$ es divisible por $1979$.

Sean $a$ y $b$ enteros coprimos, mayores o iguales a $1$. Demuestra que todos los enteros $n$ mayores o iguales a $(a - 1)(b - 1)$ se pueden escribir de la forma: \[n = ua + vb, \qquad \text{con} (u, v) \in \mathbb N \times \mathbb N.\]

Considera el conjunto $E$ que consta de pares de enteros $(a, b)$ , con $a \geq 1$ y $b \geq 1$ , que satisfacen en el sistema decimal las siguientes propiedades: \n(i) $b$ se escribe con tres dígitos, como $\overline{\alpha_2\alpha_1\alpha_0}$ , $\alpha_2 \neq 0$ ; \n(ii) $a$ se escribe como $\overline{\beta_p \ldots \beta_1\beta_0}$ para algún $p$ ; \n(iii) $(a + b)^2$ se escribe como $\overline{\beta_p\ldots \beta_1 \beta_0 \alpha_2 \alpha_1 \alpha_0}.$ \nEncuentra los elementos de $E$.

Considera dos cuadriláteros $ABCD$ y $A'B'C'D'$ en un plano afín euclidiano tales que $AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D'$ , y $DA = D'A'$. Demuestra que las siguientes dos afirmaciones son verdaderas: \n(a) Si las diagonales $BD$ y $AC$ son mutuamente perpendiculares, entonces las diagonales $B'D'$ y $A'C'$ también son mutuamente perpendiculares. \n(b) Si la bisectriz perpendicular de $BD$ interseca a $AC$ en $M$, y la de $B'D'$ interseca a $A'C'$ en $M'$, entonces $\frac{\overline{MA}}{\overline{MC}}=\frac{\overline{M'A'}}{\overline{M'C'}}$ (si $MC = 0$ entonces $M'C' = 0$ ).

Sea $E$ el conjunto de todas las aplicaciones biyectivas de $\mathbb R$ a $\mathbb R$ que satisfacen \[f(t) + f^{-1}(t) = 2t, \qquad \forall t \in \mathbb R,\] donde $f^{-1}$ es la aplicación inversa de $f$. Encuentra todos los elementos de $E$ que son aplicaciones monótonas.

Demuestra que para cualquier vector $a, b$ en el espacio euclidiano, \[|a \times b|^3 \leq \frac{3 \sqrt 3}{8} |a|^2 |b|^2 |a-b|^2\] Observación. Aquí $\times$ denota el producto vectorial.

Para $k = 1, 2, \ldots$ considera las $k$ - tuplas $(a_1, a_2, \ldots, a_k)$ de enteros positivos tales que \[a_1 + 2a_2 + \cdots + ka_k = 1979.\] Demuestra que hay tantas $k$ - tuplas con $k$ impar como las hay con $k$ par.

Demuestra que para ningún entero $a \geq 1, n \geq 1$ la suma \[1+\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+2a}+\cdots+\frac{1}{1+na}\] es un entero.

Halla los valores reales de $p$ para los cuales la ecuación \[\sqrt{2p+ 1 - x^2} +\sqrt{3x + p + 4} = \sqrt{x^2 + 9x+ 3p + 9}\] en $x$ tiene exactamente dos raíces reales distintas. ( $\sqrt t $ significa la raíz cuadrada positiva de $t$ ).

Sea $Q$ un cuadrado con lado de longitud $6$. Halla el entero más pequeño $n$ tal que en $Q$ existe un conjunto $S$ de $n$ puntos con la propiedad de que cualquier cuadrado con lado $1$ completamente contenido en $Q$ contiene en su interior al menos un punto de $S$.