Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Sean $K,L$ y $M$ los puntos de tangencia del incírculo de $ABC$ con $AB,BC$ y $CA$, respectivamente. La línea $t$ pasa por $B$ y es paralela a $KL$. Las líneas $MK$ y $ML$ intersecan a $t$ en los puntos $R$ y $S$. Demuestre que $\angle RIS$ es agudo.

Determine todos los pares $(x,y)$ de enteros positivos tales que $x^{2}y+x+y$ es divisible por $xy^{2}+y+7$.

Para cualquier entero positivo $n$, sea $\tau (n)$ denote el número de sus divisores positivos (incluyendo 1 y el mismo). Determine todos los enteros positivos $m$ para los cuales existe un entero positivo $n$ tal que $\frac{\tau (n^{2})}{\tau (n)}=m$.

En un concurso, hay $m$ candidatos y $n$ jueces, donde $n\geq 3$ es un entero impar. Cada candidato es evaluado por cada juez como aprobado o reprobado. Suponga que cada par de jueces está de acuerdo en a lo sumo $k$ candidatos. Demuestre que\n\[{\frac{k}{m}} \geq {\frac{n-1}{2n}}.\]

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene diagonales perpendiculares. Las bisectrices perpendiculares de los lados $AB$ y $CD$ se intersecan en un único punto $P$ dentro de $ABCD$. Demuestre que el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico si y solo si los triángulos $ABP$ y $CDP$ tienen áreas iguales.

Un polígono convexo con $2n$ lados se llama rómbico si sus lados son iguales y todos los pares de lados opuestos son paralelos. Un polígono rómbico se puede dividir en cuadriláteros rómbicos. ¿Para qué valor de $n$ , un polígono rómbico de $2n$ lados se divide en $666$ cuadriláteros rómbicos?

Considerar $2n$ puntos en el plano. Dos jugadores $A$ y $B$ eligen alternativamente un punto en cada movimiento. Después de $2n$ movimientos, no quedan puntos para elegir y el juego termina. Sumar todas las distancias entre los puntos elegidos por $A$ y sumar todas las distancias entre los puntos elegidos por $B$. El que tenga la suma más alta gana. Si $A$ comienza el juego, describir la estrategia del ganador. Aclaración: Considere que todas las sumas parciales de distancias entre puntos dan números diferentes.

Dados los números naturales $a$ y $b$, con $1 \le a <b$, probar que existen números naturales $n_1<n_2< ...<n_k$, con $k \le a$ tal que $$\frac{a}{b}=\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+...+\frac{1}{n_k}$$

Dado un tetraedro regular de arista $a$, sus aristas se dividen en $n$ segmentos iguales, obteniéndose así $n + 1$ puntos: $2$ en los extremos y $n - 1$ en el interior. Se considera el siguiente conjunto de planos: $\bullet$ aquellos que contienen las caras del tetraedro, y $\bullet$ cada uno de los planos paralelos a una cara del tetraedro y que contiene al menos uno de los puntos determinados anteriormente. Ahora se consideran todos aquellos puntos $P$ que pertenecen (simultáneamente) a cuatro planos de ese conjunto. Determinar el menor natural positivo $n$ para que entre esos puntos $P$ se puedan elegir los ocho vértices de un paralelepípedo rectangular de base cuadrada.

En una circunferencia de centro $O$ y radio $r$, se inscribe un triángulo $ABC$ de ortocentro $H$. Se considera un triángulo $A'B'C'$ cuyos lados tienen por longitud las medidas de los segmentos $AB, CH$ y $2r$. Determinar el triángulo $ABC$ para que el área del triángulo $A'B'C'$ sea máxima.