Encuentra todos los números reales $x_1, \dots, x_{2016}$ que satisfacen la siguiente ecuación para cada $1 \le i \le 2016$. (Aquí $x_{2017} = x_1$.) \[ x_i^2 + x_i - 1 = x_{i+1} \]

Sea $\triangle ABC$ el triángulo acutángulo tal que $AB\ne AC.$ Sea $V$ la intersección de $BC$ y la bisectriz del $\angle A.$ Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ a $BC.$ Sean $E,F$ la intersección de la circunferencia circunscrita de $\triangle AVD$ y $CA,AB$ respectivamente. Demuestra que las líneas $AD, BE,CF$ son concurrentes.

Sea $A_n$ el conjunto de números reales tales que cada elemento de $A_n$ puede expresarse como $1+\frac{a_1}{\sqrt{2}}+\frac{a_2}{(\sqrt{2})^2}+\cdots +\frac{a_n}{(\sqrt{2})^n}$ para un $n$ dado. Encuentra tanto $|A_n|$ como la suma de los productos de dos elementos distintos de $A_n$ donde cada $a_i$ es $1$ o $-1.$

Encuentra el valor mínimo de $k$ tal que existan dos secuencias ${a_i},{b_i}$ para $i=1,2,\cdots ,k$ que satisfagan las siguientes condiciones. (i) Para todo $i=1,2,\cdots ,k,$ $a_i,b_i$ es el elemento de $S=\{1996^n|n=0,1,2,\cdots\}.$ (ii) Para todo $i=1,2,\cdots, k, a_i\ne b_i.$ (iii) Para todo $i=1,2,\cdots, k, a_i\le a_{i+1}$ y $b_i\le b_{i+1}.$ (iv) $\sum_{i=1}^{k} a_i=\sum_{i=1}^{k} b_i.$

Encuentra todas las ternas de soluciones enteras $(x,y,z)$ tales que $x^2+y^2+z^2-2xyz=0.$

El círculo $C$ (el centro es $C$ ) está dentro del $\angle XOY$ y es tangente a los dos lados del ángulo. Sea $C_1$ el círculo que pasa por el centro de $C$ y es tangente a los dos lados del ángulo y sea $A$ uno de los extremos del diámetro de $C_1$ que pasa por $C$ y sea $B$ la intersección de este diámetro y el círculo $C.$ Demuestra que el círculo que tiene a $A$ como centro y a $AB$ como radio también es tangente a los dos lados del $\angle XOY.$

Sea $a=\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ para un entero positivo dado $n.$ Expresa la suma $\sum_{k=1}^{n}\lfloor \sqrt{k} \rfloor$ en términos de $n$ y $a.$

Sea $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ la función tal que (i) Para todos los enteros positivos $n,$ $f(n+f(n))=f(n)$ (ii) $f(n_o)=1$ para algún $n_0$ Demuestra que $f(n)\equiv 1.$

Si dibujas $4$ puntos en el círculo unitario, demuestra que siempre puedes encontrar dos puntos donde la distancia entre ellos es menor que $\sqrt{2}.$

Para un entero no nulo $k$, denote por $\nu_2(k)$ el entero no negativo maximal $t$ tal que $2^t \mid k$. Dados $n (\ge 2)$ enteros distintos por pares $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Muestre que existe un entero $x$, distinto de $a_1, \ldots, a_n$, tal que entre $\nu_2(x - a_1), \ldots, \nu_2(x - a_n)$ hay al menos $n/4$ números impares y al menos $n/4$ números pares.