Sean $n$ y $p$ dos enteros con $p$ primo positivo, tal que $pn + 1$ es un cuadrado perfecto. Demostrar que $n + 1$ es la suma de $p$ cuadrados perfectos, no necesariamente distintos.

Sean $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ números reales no negativos, tales que $x_1\le4$ y $x_1+x_2\le13$ y $x_1+x_2+x_3\le29$ y $x_1+x_2+x_3+x_4\le54$ y $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\le90$ . Pruebe que $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\sqrt{x_3}+\sqrt{x_4}+\sqrt{x_5}\le20$ .

Sea $ABC$ un triángulo equiangular con circuncírculo $\omega$ . Sean los puntos $F\in AB$ y $E\in AC$ tal que $\angle ABE+\angle ACF=60^{\circ}$ . El circuncírculo del triángulo $AFE$ interseca al círculo $\omega$ en el punto $D$ . Las semirrectas $DE$ y $DF$ intersecan la línea que pasa por $B$ y $C$ en los puntos $X$ e $Y$ . Pruebe que el incentro del triángulo $DXY$ es independiente de la elección de $E$ y $F$ . (Los ángulos en el enunciado del problema no están dirigidos. Se asume que $E$ y $F$ son elegidos de tal manera que las semirrectas $DE$ y $DF$ de hecho intersecan la línea que pasa por $B$ y $C$ . )

Para cada secuencia $p_1<p_2<\cdots<p_8$ de ocho números primos, determine el entero más grande $N$ para el cual la siguiente ecuación no tiene solución en enteros positivos $x_1,\ldots,x_8$ : $$p_1\, p_2\, \cdots\, p_8 \n\left( \frac{x_1}{p_1}+ \frac{x_2}{p_2}+ ~\cdots~ +\frac{x_8}{p_8} \right)\n~~=~~ N $$

Determine el entero positivo más pequeño $M$ con la siguiente propiedad: Para cada elección de enteros $a,b,c$ , existe un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros de modo que $P(1)=aM$ y $P(2)=bM$ y $P(4)=cM$ .

Sea $P(n)$ un trinomio cuadrático con coeficientes enteros. Para cada entero positivo $n$ , el número $P(n)$ tiene un divisor propio $d_n$ , es decir, $1<d_n<P(n)$ , tal que la secuencia $d_1,d_2,d_3,\ldots$ es creciente. Demuestra que o bien $P(n)$ es el producto de dos polinomios lineales con coeficientes enteros o todos los valores de $P(n)$ , para enteros positivos $n$ , son divisibles por el mismo entero $m>1$.

En un hexágono convexo $AC'BA'CB'$ , cada dos lados opuestos son iguales. Sea $A_1$ el punto de intersección de $BC$ con la bisectriz perpendicular de $AA'$ . Define $B_1$ y $C_1$ de manera similar. Demuestra que $A_1$ , $B_1$ , y $C_1$ son colineales.

En una palabra de más de $10$ letras, dos letras consecutivas cualesquiera son diferentes. Demuestra que se pueden cambiar de lugar dos letras consecutivas de modo que la palabra resultante no sea periódica, es decir, no se pueda dividir en subpalabras iguales.

Cada número real mayor que 1 está coloreado de rojo o azul con ambos colores siendo usados. Demuestra que existen números reales $a$ y $b$ tales que los números $a+\frac1b$ y $b+\frac1a$ son de diferentes colores.

En un conjunto de enteros positivos consecutivos, hay exactamente $100$ cubos perfectos y $10$ cuartas potencias perfectas. Demuestra que hay al menos $2000$ cuadrados perfectos en el conjunto.