Una pila contiene $2021^{2021}$ piedras. En un movimiento, cualquier pila se puede dividir en dos pilas de modo que el número de piedras en ellas difiera en una potencia de $2$ con exponente entero no negativo. Después de algún movimiento resultó que el número de piedras en cada pila es una potencia de $2$ con exponente entero no negativo. Demuestra que el número de movimientos realizados fue par.

Se dan $y>1$ real y un entero positivo $n \leq y^{50}$ tal que todos los divisores primos de $n$ no exceden $y$. Demuestra que $n$ es un producto de $99$ factores enteros positivos (no necesariamente primos) que no exceden $y$.

En una tabla de $100\times 100$ se marcan $110$ cuadrados unitarios. ¿Es siempre posible reorganizar las filas y columnas para que todos los cuadrados unitarios marcados estén por encima de la diagonal principal o sobre ella?

Algunas mansiones del condado de Lipshire están conectadas por carreteras. Los habitantes de las mansiones conectadas por una carretera se llaman vecinos. ¿Es siempre posible establecer en cada mansión un caballero (que siempre dice la verdad) o un mentiroso (que siempre miente) para que cada habitante pueda decir 'El número de mentirosos entre mis vecinos es al menos el doble del número de caballeros'?

Para $n$ enteros positivos distintos, se consideran todas sus $n(n-1)/2$ sumas por pares. Para cada una de estas sumas, Ivan ha escrito en la pizarra el número de enteros originales que son menores que esa suma y la dividen. ¿Cuál es la suma máxima posible de los números escritos por Ivan?

La bisectriz del ángulo $B$ de un paralelogramo $ABCD$ se encuentra con su diagonal $AC$ en $E$, y la bisectriz externa del ángulo $B$ se encuentra con la línea $AD$ en $F$. $M$ es el punto medio de $BE$. Demuestra que $CM // EF$.

Los trinomios cuadráticos $F$ y $G$ satisfacen $F(F(x)) > F(G(x)) > G(G(x))$ para todo $x$ real. Demuestra que $F(x) > G(x)$ para todo $x$ real.

Sean $ a_1, a_2, \ldots , a_n$ enteros positivos distintos y sea $ M$ un conjunto de $ n - 1$ enteros positivos que no contienen a $ s = a_1 + a_2 + \ldots + a_n.$ Un saltamontes debe saltar a lo largo del eje real, comenzando en el punto $ 0$ y haciendo $ n$ saltos a la derecha con longitudes $ a_1, a_2, \ldots , a_n$ en algún orden. Demuestra que el orden se puede elegir de tal manera que el saltamontes nunca aterrice en ningún punto de $ M.$

Determine todas las funciones $ f$ del conjunto de los enteros positivos al conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos $ a$ y $ b$ , existe un triángulo no degenerado con lados de longitudes \n$ a, f(b) \text{ y } f(b + f(a) - 1).$ (Un triángulo es no degenerado si sus vértices no son colineales.)

Determine el menor valor posible de $f(1998),$ donde $f:\Bbb{N}\to \Bbb{N}$ es una función tal que para todo $m,n\in {\Bbb N}$ ,\n\[f\left( n^{2}f(m)\right) =m\left( f(n)\right) ^{2}.\]