Una sociedad internacional tiene miembros de seis países diferentes. La lista de miembros contiene $1978$ nombres, numerados $1, 2, \dots, 1978$. Demuestre que hay al menos un miembro cuyo número es la suma de los números de dos miembros de su propio país, o dos veces mayor que el número de un miembro de su propio país.

Dada una función no constante $f : \mathbb{R}^+ \longrightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(xy) = f(x)f(y)$ para cualquier $x, y > 0$ , encuentre funciones $c, s : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}$ que satisfagan $c\left(\frac{x}{y}\right) = c(x)c(y)-s(x)s(y)$ para toda $x, y > 0$ y $c(x)+s(x) = f(x)$ para toda $x > 0$ .

Sean $c, s$ funciones reales definidas en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ que no son constantes en ningún intervalo y satisfacen \[c\left(\frac{x}{y}\right)= c(x)c(y) - s(x)s(y)\text{ para cualquier }x \neq 0, y \neq 0\] Demuestre que: $(a) c\left(\frac{1}{x}\right) = c(x), s\left(\frac{1}{x}\right) = -s(x)$ para cualquier $x = 0$ , y también $c(1) = 1, s(1) = s(-1) = 0$ ; $(b) c$ y $s$ son funciones pares o impares (una función $f$ es par si $f(x) = f(-x)$ para toda $x$, e impar si $f(x) = -f(-x)$ para toda $x$ ) . Encuentre funciones $c, s$ que también satisfagan $c(x) + s(x) = x^n$ para toda $x$, donde $n$ es un entero positivo dado.

Determine el sexto número después del punto decimal en el número $(\sqrt{1978} +\lfloor\sqrt{1978}\rfloor)^{20}$

Para cada entero $d \geq 1$, sea $M_d$ el conjunto de todos los enteros positivos que no pueden escribirse como una suma de una progresión aritmética con diferencia $d$, teniendo al menos dos términos y consistiendo de enteros positivos. Sea $A = M_1$, $B = M_2 \setminus \{2 \}, C = M_3$. Demuestre que cada $c \in C$ puede escribirse de forma única como $c = ab$ con $a \in A, b \in B.$

Considere un polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$ con $a > 0$ que tiene dos raíces reales $x_1, x_2$ . Pruebe que los valores absolutos de ambas raíces son menores o iguales a $1$ si y sólo si $a + b + c \ge 0, a -b + c \ge 0$ , y $a - c \ge 0$ .

Sea $0<f(1)<f(2)<f(3)<\ldots$ una secuencia con todos sus términos positivos. El $n$-ésimo entero positivo que no pertenece a la secuencia es $f(f(n))+1.$ Encuentra $f(240).$

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos impares que no son múltiplos de $5$ y que son menores que $30m$ , donde $m$ es un entero positivo arbitrario. ¿Cuál es el entero más pequeño $k$ tal que en cualquier subconjunto de $k$ enteros de $S$ debe haber dos enteros diferentes, uno de los cuales divide al otro?

Sean $x$ e $y$ dos enteros no iguales a $0$ tales que $x+y$ es un divisor de $x^2+y^2$ . Y sea $\frac{x^2+y^2}{x+y}$ un divisor de $1978$ . Pruebe que $x = y$ .

Un círculo toca los lados $AB,BC, CD,DA$ de un cuadrado en los puntos $K,L,M,N$ respectivamente, y $BU, KV$ son líneas paralelas tales que $U$ está en $DM$ y $V$ en $DN$ . Pruebe que $UV$ toca el círculo.