Para cualquier entero positivo $m\ge2$ define $A_m=\{m+1, 3m+2, 5m+3, 7m+4, \ldots, (2k-1)m + k, \ldots\}$ . (1) Para cada $m\ge2$ , demuestre que existe un entero positivo $a$ que satisface $1\le a<m$ y $2^a\in A_m$ o $2^a+1\in A_m$ . (2) Para un cierto $m\ge2$ , sean $a, b$ enteros positivos que satisfacen $2^a\in A_m$ , $2^b+1\in A_m$ . Sean $a_0, b_0$ el menor par de tales $a, b$ . Encuentra la relación entre $a_0$ y $b_0$ .

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfacen lo siguiente: $f(1)=2008$ , $|{f(x)}| \le x^2+1004^2$ , $f\left (x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right )=f\left (x+\frac{1}{y}\right )+f\left (y+\frac{1}{x}\right ).$

Encuentra todos los polinomios enteros $f$ tales que existan infinitos pares de números naturales primos relativos $(a,b)$ tales que $a+b \mid f(a)+f(b)$.

El hexágono $ABCDEF$ está inscrito en un círculo $O$. Sean $BD \cap CF = G, AC \cap BE = H, AD \cap CE = I$. Se satisfacen las siguientes condiciones: $BD \perp CF , CI=AI$. Demuestra que $CH=AH+DE$ es equivalente a $GH \times BD = BC \times DE$.

Hay $n$ puntos distintos en una circunferencia. Elige uno de los puntos. Conecta este punto y el punto $m$-ésimo desde el punto elegido en sentido antihorario con un segmento. Conecta este punto $m$-ésimo y el punto $m$-ésimo desde este punto $m$-ésimo en sentido antihorario con un segmento. Repite tales pasos hasta que no se construya ningún segmento nuevo. De las intersecciones de los segmentos, sea el número de las intersecciones - que están en el círculo - sea $I$. Responde a las siguientes preguntas ($m$ y $n$ son enteros positivos que son relativamente primos y satisfacen $6 \leq 2m < n$). 1) Cuando los $n$ puntos toman diferentes posiciones, expresa el valor máximo de $I$ en términos de $m$ y $n$. 2) Demuestra que $I \geq n$. Demuestra que hay un caso, que es $I=n$, cuando $m=3$ y $n$ es un número par arbitrario que satisface la condición.

Para un entero positivo, $m$, responde a las siguientes preguntas. 1) Demuestra que $2^{m+1}+1$ es un número primo, cuando $2^{m+1}+1$ es un factor de $3^{2^m}+1$. 2) ¿Es cierto el converso de 1)?

Sean $P$, $Q$ y $R$ los puntos donde la circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ toca los lados $AB$, $BC$ y $CA$, respectivamente. Demuestra la desigualdad $\frac{BC} {PQ} + \frac{CA} {QR} + \frac{AB} {RP} \geq 6$.

Demuestra que la ecuación, $2x^4+2x^2y^2+y^4=z^2$, no tiene solución entera cuando $x \neq 0$.

Sea $M$ la intersección de dos diagonales, $AC$ y $BD$, de un rombo $ABCD$, donde el ángulo $A<90^\circ$. Construye $O$ en el segmento $MC$ de modo que $OB<OC$ y sea $t=\frac{MA}{MO}$, siempre que $O \neq M$. Construye un círculo que tenga a $O$ como centro y que pase por $B$ y $D$. Sean las intersecciones entre el círculo y $AB$ sean $B$ y $X$. Sean las intersecciones entre el círculo y $BC$ sean $B$ y $Y$. Sean las intersecciones de $AC$ con $DX$ y $DY$ sean $P$ y $Q$, respectivamente. Expresa $\frac{OQ}{OP}$ en términos de $t$.

Algunas computadoras de una sala de computadoras tienen la siguiente red. Cada computadora está conectada por tres cables a tres computadoras. Dos computadoras arbitrarias pueden intercambiar datos directa o indirectamente (a través de otras computadoras). Ahora, eliminemos $K$ computadoras para que haya dos computadoras que no puedan intercambiar datos, o quede una computadora. Sea $k$ el valor mínimo de $K$. Eliminemos $L$ cables de la red original para que haya dos computadoras que no puedan intercambiar datos. Sea $l$ el valor mínimo de $L$. Demuestra que $k=l$.