Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que existen polinomios $P$ y $Q$ con coeficientes reales tales que para todo número real $x$, tenemos $P(x) \ge 0$, $Q(x) \ge 0$, y\n\[ 1 - x^n = (1 - x)P(x) + (1 + x)Q(x).\n\]

Dados los enteros positivos $n$ y $k$, decimos que $n$ es $k$-resoluble si existen enteros positivos $a_1, a_2, ..., a_k$ (no necesariamente distintos) tales que\n\[ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_k} = 1\n\]\ny\n\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_k = n.\n\]\nDemuestre que si $n$ es $k$-resoluble, entonces $42n + 12$ es $(k + 3)$-resoluble.

Se nos da un conjunto finito de segmentos de la misma línea. Demuestra que podemos colorear cada segmento de rojo o azul de tal manera que, para cada punto $p$ en la línea, el número de segmentos rojos que contienen a $p$ difiere del número de segmentos azules que contienen a $p$ en a lo sumo $1$.

$10000$ dígitos distintos de cero se escriben en una tabla de $100 \times 100$, un dígito por celda. De izquierda a derecha, cada fila forma un entero de $100$ dígitos. De arriba a abajo, cada columna forma un entero de $100$ dígitos. Entonces, las filas y las columnas forman $200$ enteros (cada uno con $100$ dígitos), no necesariamente distintos. Demuestra que si al menos $199$ de estos $200$ números son divisibles por $2013$, entonces todos ellos son divisibles por $2013$.

Se dice que un triángulo (no degenerado) es divertido si satisface la siguiente condición: la altura, la mediana y la bisectriz trazadas desde uno de los vértices dividen el triángulo en 4 triángulos no superpuestos cuyas áreas forman (en algún orden) una secuencia aritmética de 4 términos. (Se permite que uno de estos 4 triángulos sea degenerado). Encuentra con prueba todos los triángulos divertidos.

Sea $n$ un entero positivo. Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales tales que $-1 \le a_i \le 1$ (para todo $1 \le i \le n$). Sean $b_1, b_2, \ldots, b_n$ números reales tales que $-1 \le b_i \le 1$ (para todo $1 \le i \le n$). Demuestra que\n\[ \left| \prod_{i=1}^n a_i - \prod_{i=1}^n b_i \right| \le \sum_{i = 1}^n \left| a_i - b_i \right| \, .\n\]

Un cuadrado de 8 por 8 se divide en 64 cuadrados unitarios de la manera habitual. Cada cuadrado unitario se colorea de negro o blanco. El número de cuadrados unitarios negros es par. Podemos tomar dos cuadrados unitarios adyacentes (formando un rectángulo de 1 por 2 o 2 por 1) y cambiar sus colores: el negro se vuelve blanco y el blanco se vuelve negro. Llamamos a esta operación un paso. Si $C$ es la coloración original, sea $S(C)$ el número mínimo de pasos necesarios para que todos los cuadrados unitarios sean negros. Encuentra con prueba el mayor valor posible de $S(C)$.

Sea $f$ el polinomio cúbico\n\[ f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d,\n\]\ndonde $b$, $c$ y $d$ son números reales. Sean $x_1$, $x_2$, $\ldots\,$, $x_n$ números no negativos, y sea $m$ su promedio. Suponga que $m \ge - \dfrac{b}{2}\,$. Demuestra que\n\[ \sum_{i = 1}^n f(x_i) \ge n f(m).\n\]

Un tetraedro $T$ está dentro de un cubo $C$. Demuestra que el volumen de $T$ es como máximo un tercio del volumen de $C$.

Demuestra que cada entero positivo tiene una representación única en la forma\n\[ \sum_{i=0}^k d_i 2^i \, ,\n\]\ndonde $k$ es un entero no negativo y cada $d_i$ es 1 o 2. (Esta representación es similar a la notación binaria usual, excepto que los dígitos son 1 y 2, no 0 y 1.)