Sea $ABCDEF$ un hexágono regular y $M\in (DE)$ , $N\in(CD)$ tal que $m (\widehat {AMN}) = 90^\circ$ y $AN = CM \sqrt {2}$ . Encuentra el valor de $\frac{DM}{ME}$ .

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con $AB=AD=BC, AB//CD, AB>CD$. Sea $E= AC \cap BD$ y $N$ simétrico a $B$ con respecto a $AC$. Demuestra que el cuadrilátero $ANDE$ es cíclico.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $k$. Se da que la tangente desde $A$ al círculo se encuentra con la línea $BC$ en el punto $P$. Sea $M$ el punto medio del segmento de línea $AP$ y $R$ el segundo punto de intersección del círculo $k$ con la línea $BM$. La línea $PR$ se encuentra de nuevo con el círculo $k$ en el punto $S$ diferente de $R$. Demuestra que las líneas $AP$ y $CS$ son paralelas.

Se da un triángulo acutángulo $ABC$, $AC \not= BC$. Las alturas trazadas desde $A$ y $B$ se encuentran en $H$ e intersecan la bisectriz externa del ángulo $C$ en $Y$ y $X$ respectivamente. La bisectriz externa del ángulo $AHB$ se encuentra con los segmentos $AX$ y $BY$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Si $PX = QY$, demuestra que $AP + BQ \ge 2CH$.

Los senos de tres ángulos agudos forman una progresión aritmética, mientras que los cosenos de estos ángulos forman una progresión geométrica. Demuestra que los tres ángulos son iguales.

Un polígono convexo con $2n$ lados se llama rómbico si sus lados son iguales y todos los pares de lados opuestos son paralelos. Un polígono rómbico se puede dividir en cuadriláteros rómbicos. ¿Para qué valor de $n$ , un polígono rómbico de $2n$ lados se divide en $666$ cuadriláteros rómbicos?

Considerar $2n$ puntos en el plano. Dos jugadores $A$ y $B$ eligen alternativamente un punto en cada movimiento. Después de $2n$ movimientos, no quedan puntos para elegir y el juego termina. Sumar todas las distancias entre los puntos elegidos por $A$ y sumar todas las distancias entre los puntos elegidos por $B$. El que tenga la suma más alta gana. Si $A$ comienza el juego, describir la estrategia del ganador. Aclaración: Considere que todas las sumas parciales de distancias entre puntos dan números diferentes.

Sea $ABC$ un triángulo equiangular con circuncírculo $\omega$ . Sean los puntos $F\in AB$ y $E\in AC$ tal que $\angle ABE+\angle ACF=60^{\circ}$ . El circuncírculo del triángulo $AFE$ interseca al círculo $\omega$ en el punto $D$ . Las semirrectas $DE$ y $DF$ intersecan la línea que pasa por $B$ y $C$ en los puntos $X$ e $Y$ . Pruebe que el incentro del triángulo $DXY$ es independiente de la elección de $E$ y $F$ . (Los ángulos en el enunciado del problema no están dirigidos. Se asume que $E$ y $F$ son elegidos de tal manera que las semirrectas $DE$ y $DF$ de hecho intersecan la línea que pasa por $B$ y $C$ . )

Sea $P(n)$ un trinomio cuadrático con coeficientes enteros. Para cada entero positivo $n$ , el número $P(n)$ tiene un divisor propio $d_n$ , es decir, $1<d_n<P(n)$ , tal que la secuencia $d_1,d_2,d_3,\ldots$ es creciente. Demuestra que o bien $P(n)$ es el producto de dos polinomios lineales con coeficientes enteros o todos los valores de $P(n)$ , para enteros positivos $n$ , son divisibles por el mismo entero $m>1$.

En un hexágono convexo $AC'BA'CB'$ , cada dos lados opuestos son iguales. Sea $A_1$ el punto de intersección de $BC$ con la bisectriz perpendicular de $AA'$ . Define $B_1$ y $C_1$ de manera similar. Demuestra que $A_1$ , $B_1$ , y $C_1$ son colineales.