Se da un pentágono convexo $ABCDE$ en el que $\angle A = 60^o$ , $\angle B = 100^o$ , $\angle C = 140^o$ . Demuestre que este pentágono se puede colocar en un círculo con un radio de $\frac23 AD$ .

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en números enteros: $$\begin{cases} x^2 = yz + 1 \ y^2 = zx + 1 \ z^2 = xy + 1 \end{cases}$$

Sea $n\ge 3$ . Suponga que $a_1, a_2, ... , a_n$ son $n$ números reales distintos en parejas. En términos de $n$ , encuentre el menor número posible de diferentes valores asumidos por los siguientes $n$ números: $$a_1 + a_2, a_2 + a_3,..., a_{n- 1} + a_n, a_n + a_1$$

Determinar para qué enteros positivos $k$ el conjunto \[ X = \{1990, 1990 + 1, 1990 + 2, \ldots, 1990 + k\}\] puede ser dividido en dos subconjuntos disjuntos $A$ y $B$ tales que la suma de los elementos de $A$ es igual a la suma de los elementos de $B.$

En el plano coordenado se da un rectángulo con vértices $ (0, 0),$ $ (m, 0),$ $ (0, n),$ $ (m, n)$ donde tanto $ m$ como $ n$ son enteros impares. El rectángulo se divide en triángulos de tal manera que (i) cada triángulo en la partición tiene al menos un lado (que se llamará un lado “bueno”) que se encuentra en una línea de la forma $ x = j$ o $ y = k,$ donde $ j$ y $ k$ son enteros, y la altitud en este lado tiene longitud 1; (ii) cada lado “malo” (es decir, un lado de cualquier triángulo en la partición que no es “bueno”) es un lado común de dos triángulos en la partición. Demostrar que existen al menos dos triángulos en la partición, cada uno de los cuales tiene dos lados buenos.

Un matemático excéntrico tiene una escalera con $n$ peldaños que siempre asciende y desciende de la siguiente manera: Cuando asciende, cada paso que da cubre $a$ peldaños de la escalera, y cuando desciende, cada paso que da cubre $b$ peldaños de la escalera, donde $a$ y $b$ son enteros positivos fijos. Mediante una secuencia de pasos ascendentes y descendentes puede subir desde el nivel del suelo hasta el peldaño superior de la escalera y volver a bajar al nivel del suelo. Hallar, con demostración, el valor mínimo de $n,$ expresado en términos de $a$ y $b.$

Sea $ABC$ un triángulo, y sean las bisectrices de los ángulos $CAB$ y $ABC$ que intersectan los lados $BC$ y $CA$ en los puntos $D$ y $F$, respectivamente. Las líneas $AD$ y $BF$ intersectan la línea que pasa por el punto $C$ paralela a $AB$ en los puntos $E$ y $G$ respectivamente, y tenemos $FG = DE$. Demostrar que $CA = CB$. Formulación original: Sea $ABC$ un triángulo y $L$ la línea que pasa por $C$ paralela al lado $AB$. Sea la bisectriz interna del ángulo en $A$ que intersecta el lado $BC$ en $D$ y la línea $L$ en $E$ y sea la bisectriz interna del ángulo en $B$ que intersecta el lado $AC$ en $F$ y la línea $L$ en $G$. Si $GF = DE,$ demostrar que $AC = BC.$

Sean $AB$ y $CD$ cuerdas de un círculo que se intersectan en un punto $E$ dentro del círculo. Sea $M$ un punto interior del segmento $EB$. La línea tangente en $E$ al círculo que pasa por $D$, $E$ y $M$ intersecta las líneas $BC$ y $AC$ en $F$ y $G$, respectivamente. Si \[ \frac {AM}{AB} = t, \] hallar $\frac {EG}{EF}$ en términos de $t$.

Demuestra que hay infinitos enteros positivos $c$ , tales que las siguientes ecuaciones tienen soluciones en enteros positivos: $(x^2 - c)(y^2 -c) = z^2 -c$ y $(x^2 + c)(y^2 - c) = z^2 - c$ .

Determina todos los números primos $p_1, p_2,..., p_{12}, p_{13}, p_1 \le p_2 \le ... \le p_{12} \le p_{13}$ , tal que $p_1^2+ p_2^2+ ... + p_{12}^2 = p_{13}^2$ y uno de ellos es igual a $2p_1 + p_9$ .