Un punto reticular en el plano cartesiano es un punto cuyas coordenadas son ambas enteras. Un polígono reticular es un polígono todos cuyos vértices son puntos reticulares. Sea $\Gamma$ un polígono reticular convexo. Demuestre que $\Gamma$ está contenido en un polígono reticular convexo $\Omega$ tal que los vértices de $\Gamma$ se encuentran todos en la frontera de $\Omega$, y exactamente un vértice de $\Omega$ no es un vértice de $\Gamma$.

Los radios del círculo circunscrito y el círculo inscrito de un $n$ - gon regular, $n\ge 3$ se denotan por $R_n$ y $r_n$, respectivamente. Demostrar que \[\frac{r_n}{R_n}\ge\left(\frac{r_{n+1}}{R_{n+1}}\right)^2.\]

Encuentra todos los pares de soluciones $(x,y)$ : \[ x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1). \]

¿Existen $\{x,y\}\in\mathbb{Z}$ que satisfagan $(2x+1)^{3}+1=y^{4}$ ?

Hay un triángulo $ABC$ . Se dan su circuncírculo y su circuncentro. Mostrar cómo se puede construir el ortocentro de $ABC$ utilizando solo una regla (regla no marcada). [Se puede suponer que la regla y el papel son lo suficientemente grandes para que se complete la construcción]

Dados los polígonos $P$ y $Q$ como se muestra en la cuadrícula a continuación, corte $P$ en dos polígonos $P_1$ y $P_2$ de tal manera que, cuando se pegan de manera diferente, forman $Q$. [asy]\nimport graph; size(16cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-2.05,xmax=15.10,ymin=-1.87,ymax=9.74; \npen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75), zzttqq=rgb(0.6,0.2,0); \ndraw((7,5)--(12,5)--(12,2)--(7,2)--cycle,zzttqq); draw((2,2)--(2,5)--(3,6)--(6,6)--(6,3)--(5,2)--cycle,zzttqq); \n/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype('2 2'); real gx=1,gy=1;\nfor(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs); draw((0,8)--(0,0)); draw((0,0)--(13,0)); draw((13,0)--(13,8)); draw((13,8)--(0,8)); draw((7,5)--(12,5),zzttqq); draw((12,5)--(12,2),zzttqq); draw((12,2)--(7,2),zzttqq); draw((7,2)--(7,5),zzttqq); draw((2,2)--(2,5),zzttqq); draw((2,5)--(3,6),zzttqq); draw((3,6)--(6,6),zzttqq); draw((6,6)--(6,3),zzttqq); draw((6,3)--(5,2),zzttqq); draw((5,2)--(2,2),zzttqq); \ndot((0,0),linewidth(1pt)+ds); dot((13,0),linewidth(1pt)+ds); dot((0,8),linewidth(1pt)+ds); dot((2,2),linewidth(1pt)+ds); dot((6,6),linewidth(1pt)+ds); dot((13,8),linewidth(1pt)+ds); dot((7,2),linewidth(1pt)+ds); dot((7,5),linewidth(1pt)+ds); dot((12,2),linewidth(1pt)+ds); dot((12,5),linewidth(1pt)+ds); label('$Q$',(8.42,2.56),NE*lsf,zzttqq); dot((5,2),linewidth(1pt)+ds); dot((6,3),linewidth(1pt)+ds); dot((2,5),linewidth(1pt)+ds); dot((3,6),linewidth(1pt)+ds); label('$P$',(4.65,2.74),NE*lsf,zzttqq); \nclip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); \n[/asy]

En el espacio euclidiano tridimensional, llamamos plegamiento de una esfera $S$ a cada partición de $S \setminus \{x,y\}$ en círculos disjuntos, donde $x$ e $y$ son dos puntos de $S$. Un plegamiento de $S$ se llama lineal si los círculos del plegamiento se obtienen por la intersección de $S$ con una familia de planos paralelos o con una familia de planos que contienen una línea recta $D$ exterior a $S$. ¿Es todo plegamiento de una esfera $S$ lineal?

Dado un número real $x>1$, demostrar que existe un número real $y >0$ tal que \[\lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{y+\sqrt {y + \cdots+\sqrt y}}}_{n \text{ raíces}}=x.\]

Dos círculos $C_1$ y $C_2$ son tangentes en un punto $P$. La línea recta en $D$ es tangente en $A$ a uno de los círculos y corta el otro círculo en los puntos $B$ y $C$. Demostrar que la línea recta $PA$ es una bisectriz (interior o exterior) del ángulo $BPC$.

Sea $p: \mathbb C \to \mathbb C$ un polinomio con grado $n$ y coeficientes complejos que satisface \[x \in \mathbb R \iff p(x) \in \mathbb R.\] Mostrar que $n=1$