Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $P$ y $Q$ puntos variables dentro de este cuadrilátero de modo que $\angle APB=\angle CPD=\angle AQB=\angle CQD$ . Demuestre que las líneas $PQ$ obtenidas de esta manera todas pasan por un punto fijo , o son todas paralelas.

Sea $ABC$ un triángulo. Considere el círculo $\omega_B$ internamente tangente a los lados $BC$ y $BA$ , y al circuncírculo del triángulo $ABC$ , sea $P$ el punto de contacto de los dos círculos. Similarmente, considere el círculo $\omega_C$ internamente tangente a los lados $CB$ y $CA$ , y al circuncírculo del triángulo $ABC$ , sea $Q$ el punto de contacto de los dos círculos. Demuestre que el incentro del triángulo $ABC$ está en el segmento $PQ$ si y sólo si $AB + AC = 3BC$ .

Sea $ABCD$ un trapecio, $AD\parallel BC$ , y sean $E,F$ puntos en los lados $AB$ y $CD$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita de $AEF$ se encuentra con $AD$ de nuevo en $A_1$ , y la circunferencia circunscrita de $CEF$ se encuentra con $BC$ de nuevo en $C_1$ . Demuestre que $A_1C_1,BD,EF$ son concurrentes.

Fije un entero $n \ge 2$ y sea $A$ una matriz de $n\times n$ con $n$ celdas cortadas de manera que exactamente una celda se elimine de cada fila y cada columna. Un palo es un subarreglo de $1\times k$ o $k\times 1$ de $A$, donde $k$ es un entero positivo adecuado. (a) Determine el número mínimo de palos en los que se puede diseccionar $A$. (b) Demuestre que el número de formas de diseccionar $A$ en un número mínimo de palos no excede $100^n$.

Un país plano tiene un número impar de ciudades separadas por distancias por pares distintas. Algunas de estas ciudades están conectadas por vuelos directos de dos vías. Cada ciudad está conectada directamente a exactamente otras dos ciudades, y estas últimas están ubicadas más lejos de ella. Demuestre que, usando estos vuelos, uno puede ir de cualquier ciudad a cualquier otra ciudad.

Un conjunto $A$ está dotado de una operación binaria $*$ que satisface las siguientes cuatro condiciones: (1) Si $a, b, c$ son elementos de $A$, entonces $a * (b * c) = (a * b) * c$, (2) Si $a, b, c$ son elementos de $A$ tal que $a * c = b *c$, entonces $a = b$, (3) Existe un elemento $e$ de $A$ tal que $a * e = a$ para todo $a$ en $A$, y (4) Si a y b son elementos distintos de $A-\{e\}$, entonces $a^3 * b = b^3 * a^2$, donde $x^k = x * x^{k-1}$ para todos los enteros $k \ge 2$ y todos los $x$ en $A$. Determine la mayor cardinalidad que $A$ puede tener.

Dado un entero positivo $n$ , determine el número real más grande $\mu$ que satisface la siguiente condición: para cada conjunto $C$ de $4n$ puntos en el interior del cuadrado unitario $U$ , existe un rectángulo $T$ contenido en $U$ tal que $\bullet$ los lados de $T$ son paralelos a los lados de $U$ ; $\bullet$ el interior de $T$ contiene exactamente un punto de $C$ ; $\bullet$ el área de $T$ es al menos $\mu$ .

Sea $p \ge 5$ un número primo. Para un entero positivo $k$ , sea $R(k)$ el resto cuando $k$ es dividido por $p$ , con $0 \le R(k) \le p-1$ . Determine todos los enteros positivos $a < p$ tales que, para cada $m = 1, 2, \cdots, p-1$ , $$ m + R(ma) > a. $$

Sea $ABC$ un triángulo, y sea $D$ el punto donde la circunferencia inscrita se encuentra con el lado $BC$ . Sean $J_b$ y $J_c$ los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ , respectivamente. Demuestra que el circuncentro del triángulo $AJ_bJ_c$ se encuentra en la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ .

Una lista finita de números racionales está escrita en una pizarra. En una operación, elegimos dos números $a$ , $b$ , los borramos, y escribimos uno de los números\n\[\n\ta + b, \; a - b, \; b - a, \; a \times b, \; a/b \text{ (si $b \neq 0$)}, \; b/a \text{ (si $a \neq 0$)}.\n\]\nDemuestra que, para cada entero $n > 100$ , hay sólo finitamente muchos enteros $k \ge 0$ , tal que, empezando desde la lista\n\[ k + 1, \; k + 2, \; \dots, \; k + n, \]\nes posible obtener, después de $n - 1$ operaciones, el valor $n!$ .