Sea $n$ un entero positivo. Anna y Beatrice juegan un juego con una baraja de $n$ cartas etiquetadas con los números $1, 2,...,n$. Inicialmente, la baraja está mezclada. Los jugadores se turnan, comenzando con Anna. En cada turno, si $k$ denota el número escrito en la carta superior, entonces el jugador primero mira todas las cartas y luego reorganiza las $k$ cartas superiores. Si, después de reorganizar, la carta superior muestra el número $k$ nuevamente, entonces el jugador ha perdido y el juego termina. Determinar, dependiendo de la mezcla inicial, si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora, y si es así, quién la tiene.

Encontrar todas las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que $$f(x+f(x+y))=x+f(f(x)+y)$$ se cumple para todos los números reales $x$ e $y$.

Para cada entero $n\geq 4$, consideramos los $m$ subconjuntos $A_1, A_2,\dots, A_m$ de $\{1, 2, 3,\dots, n\}$, tales que $A_1$ tiene exactamente un elemento, $A_2$ tiene exactamente dos elementos,...., $A_m$ tiene exactamente $m$ elementos y ninguno de estos subconjuntos está contenido en ningún otro conjunto. Encuentre el valor máximo de $m$.

Demuestre que todo entero positivo puede formarse mediante la suma de potencias de 3, 4 y 7, donde no aparecen dos potencias del mismo número y con el mismo exponente. Ejemplo: $2= 7^0 + 7^0$ y $22=3^2 + 3^2+4^1$ no son representaciones válidas, pero $2=3^0+7^0$ y $22=3^2+3^0+4^1+4^0+7^1$ son representaciones válidas.

Daniel elige un entero positivo $n$ y se lo dice a Ana. Con esta información, Ana elige un entero positivo $k$ y se lo dice a Daniel. Daniel dibuja $n$ circunferencias en un trozo de papel y elige $k$ puntos diferentes con la condición de que cada uno de ellos pertenece a una de las circunferencias que dibujó. Luego elimina las circunferencias, y sólo los $k$ puntos marcados son visibles. A partir de estos puntos, Ana debe reconstruir al menos una de las circunferencias que Daniel dibujó. Determinar cuál es el valor más bajo de $k$ que permite a Ana lograr su objetivo independientemente de cómo Daniel eligió las $n$ circunferencias y los $k$ puntos.

$ABC$ es un triángulo cualquiera. La tangente en $C$ a la circunferencia circunscrita ( $O$ ) de $ABC$ se encuentra con $AB$ en $M$. La línea perpendicular a $OM$ en $M$ intersecta a $BC$ en $P$ y a $AC$ en $Q$. Demostrar que $MP=MQ$.

Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos. Demostrar que $\frac{a+b}{c^2}+ \frac{c+a}{b^2}+ \frac{b+c}{a^2}\ge \frac{9}{a+b+c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Los vértices $D,E,F$ de un triángulo equilátero se encuentran en los lados $BC,CA,AB$ respectivamente de un triángulo $ABC$. Si $a,b,c$ son las longitudes respectivas de estos lados, y $S$ el área de $ABC$, demuestre que\n\[ DE \geq \frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot S}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 4 \cdot \sqrt{3} \cdot S}}. \]

Sean $A$, $B$, $C$, $D$ cuatro puntos en el plano, con $C$ y $D$ en el mismo lado de la línea $AB$, tales que $AC \cdot BD = AD \cdot BC$ y $\angle ADB = 90^{\circ}+\angle ACB$. Encuentre la razón \n\[\frac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD}, \]\ny demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales. (Se dice que las circunferencias que se intersectan son ortogonales si en cualquier punto común sus tangentes son perpendiculares. Por lo tanto, demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales es equivalente a demostrar que las tangentes a las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ en el punto $C$ son perpendiculares.)

Para tres puntos $A,B,C$ en el plano, definimos $m(ABC)$ como la longitud más pequeña de las tres alturas del triángulo $ABC$, donde en el caso de que $A$, $B$, $C$ sean colineales, establecemos $m(ABC) = 0$. Sean $A$, $B$, $C$ puntos dados en el plano. Demuestre que para cualquier punto $X$ en el plano,\n\[ m(ABC) \leq m(ABX) + m(AXC) + m(XBC). \]