Sea $ a_0$ , $ a_1$ , $ a_2$ , $ \ldots$ una secuencia de enteros positivos tales que el máximo común divisor de dos términos consecutivos cualesquiera es mayor que el término precedente; en símbolos, $ \gcd (a_i, a_{i + 1}) > a_{i - 1}$ . Demostrar que $ a_n\ge 2^n$ para todo $ n\ge 0$ .

Sean $ a_1$ , $ a_2$ , $ \ldots$ , $ a_n$ enteros positivos distintos, $ n\ge 3$ . Demostrar que existen índices distintos $ i$ y $ j$ tales que $ a_i + a_j$ no divide a ninguno de los números $ 3a_1$ , $ 3a_2$ , $ \ldots$ , $ 3a_n$ .

Hallar todas las funciones $ f: (0, \infty) \mapsto (0, \infty)$ (por lo que $ f$ es una función de los números reales positivos) tales que \[ \frac {\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f(y^2) + f(z^2) } = \frac {w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] para todos los números reales positivos $ w,x,y,z,$ que satisfacen $ wx = yz.$

Considerar una partición de $\{1,2,\ldots,900\}$ en $30$ subconjuntos $S_1,S_2,\ldots,S_{30}$ cada uno con $30$ elementos. En cada $S_k$, pintamos el quinto número más grande de azul. ¿Es posible que, para $k=1,2,\ldots,30$, la suma de los elementos de $S_k$ exceda la suma de los números azules?

Una colección de círculos de cartón, cada uno con un diámetro de a lo sumo $1$, se encuentran sobre una mesa de $5\times 8$ sin superponerse ni sobresalir del borde de la mesa. Se añade a la colección un círculo de cartón de diámetro $2$. Demostrar que esta nueva colección de círculos de cartón se puede colocar sobre una mesa de $7\times 7$ sin superponerse ni sobresalir del borde.

¿Cuántos enteros $n>1$ hay tales que $n$ divide a $x^{13}-x$ para cada entero positivo $x$?

En un hexágono convexo $ABCDEF$, los triángulos $ACE$ y $BDF$ tienen el mismo circunradio $R$. Si el triángulo $ACE$ tiene inradio $r$, probar que \[ \text{Area}(ABCDEF)\le\frac{R}{r}\cdot\text{Area}(ACE).\]

Hallar el entero más pequeño $n$ tal que cada subconjunto de $\{1,2,\ldots, 2004\}$ con $n$ elementos tiene dos elementos distintos $a$ y $b$ para los cuales $a^2-b^2$ es múltiplo de $2004$.

Hallar todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que \[xP\bigg(\frac{y}{x}\bigg)+yP\bigg(\frac{x}{y}\bigg)=x+y\] para todos los números reales no nulos $x$ e $y$.

Dos estudiantes $ A$ y $ B$ están jugando el siguiente juego: Cada uno de ellos escribe en una hoja de papel un entero positivo y le da la hoja al árbitro. El árbitro escribe en una pizarra dos enteros, uno de los cuales es la suma de los enteros escritos por los jugadores. Después de eso, el árbitro le pregunta al estudiante $ A:$ '¿Puedes decir el entero escrito por el otro estudiante?' Si A responde 'no', el árbitro le hace la misma pregunta al estudiante $ B.$ Si $ B$ responde 'no', el árbitro le vuelve a hacer la pregunta a $ A,$ y así sucesivamente. Asuma que ambos estudiantes son inteligentes y veraces. Demostrar que después de un número finito de preguntas, uno de los estudiantes responderá 'sí'.