Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circuncírculo $\omega$. Sean $P$ y $Q$ puntos interiores de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $BC$. Sea $L$ un punto en $\omega$ tal que $AL$ es paralelo a $BC$. Los segmentos $BQ$ y $CP$ se intersecan en $S$. La línea $LS$ interseca a $\omega$ en $K$. Demuestra que $\angle BKP = \angle CKQ$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle B = \angle D = 90^{\circ}$. Sea $E$ el punto de intersección de $BC$ con $AD$ y sea $M$ el punto medio de $AE$. En la extensión de $CD$, más allá del punto $D$, elegimos un punto $Z$ tal que $MZ = \frac{AE}{2}$. Sean $U$ y $V$ las proyecciones de $A$ y $E$ respectivamente sobre $BZ$. El circuncírculo del triángulo $DUV$ se encuentra nuevamente con $AE$ en el punto $L$. Si $I$ es el punto de intersección de $BZ$ con $AE$, demuestre que las líneas $BL$ y $CI$ se intersecan en la línea $AZ$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\omega$ y circuncentro $O$. La perpendicular desde $A$ a $BC$ interseca a $BC$ y $\omega$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $F$ un punto en el segmento $AE$, tal que $2 \cdot FD = AE$. Sea $l$ la perpendicular a $OF$ a través de $F$. Demuestra que $l$, la tangente a $\omega$ en $E$, y la línea $BC$ son concurrentes.

Sea $P$ un punto interior del triángulo isósceles $ABC$ con $\hat{A} = 90^{\circ}$ . Si $$\widehat{PAB} + \widehat{PBC} + \widehat{PCA} = 90^{\circ},$$ demuestre que $AP \perp BC$ .

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circuncentro $O$ . Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$ . Las líneas $BC$ y $AO$ se intersecan en $E$ . Sea $s$ la línea que pasa por $E$ perpendicular a $AO$ . La línea $s$ interseca a $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Denotemos por $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $AKL$ . La línea $AD$ interseca a $\omega$ de nuevo en $X$ . Demuestre que $\omega$ y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $DEX$ tienen un punto en común.

Sea $n$ un entero positivo. Un conjunto finito de enteros se llama $n$ - dividido si hay exactamente $n$ formas de dividir este conjunto en dos subconjuntos con sumas iguales. Por ejemplo, el conjunto $\{1, 3, 4, 5, 6, 7\}$ es $2$ - dividido porque las únicas formas de dividirlo en dos subconjuntos con sumas iguales es dividiéndolo en $\{1, 3, 4, 5\}$ y $\{6, 7\}$ , o $\{1, 5, 7\}$ y $\{3, 4, 6\}$ . Encuentre todos los enteros $n > 0$ para los cuales existe un conjunto $n$ - dividido.

Sea $n > 3$ un entero positivo. Encuentre todos los enteros $k$ tales que $1 \le k \le n$ y para los cuales se cumple la siguiente propiedad: Si $x_1, . . . , x_n$ son $n$ números reales tales que $x_i + x_{i + 1} + ... + x_{i + k - 1} = 0$ para todos los enteros $i > 1$ (los índices se toman módulo $n$ ) , entonces $x_1 = . . . = x_n = 0$ .

Sea $n$ ( $n \ge 1$ ) un entero. Considere la ecuación $2\cdot \lfloor{\frac{1}{2x}}\rfloor - n + 1 = (n + 1)(1 - nx)$ , donde $x$ es la variable real desconocida.\n(a) Resuelva la ecuación para $n = 8$ .\n(b) Demuestre que existe un entero $n$ para el cual la ecuación tiene al menos $2021$ soluciones.\n(Para cualquier número real $y$ , por $\lfloor{y} \rfloor$ denotamos el entero más grande $m$ tal que $m \le y$ . )

Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $n^2$ escrito en base $4$ contiene solo dígitos $1$ y $2$ .

Encuentre todos los pares $(n, p)$ de enteros positivos tales que $p$ es primo y \[ 1 + 2 + \cdots + n = 3 \cdot (1^2 + 2^2 + \cdot + p^2). \]