Sea $ABC$ un triángulo y sea $M$ el punto medio del segmento $BC$ . Sea $X$ un punto en el rayo $AB$ tal que $2 \angle CXA=\angle CMA$ . Sea $Y$ un punto en el rayo $AC$ tal que $2 \angle AYB=\angle AMB$ . La línea $BC$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$ en $P$ y $Q$ , tal que los puntos $P, B, C$ , y $Q$ se encuentran en este orden en la línea $BC$ . Demuestre que $PB=QC$ .

Sea $AD$ el diámetro de la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ . Las líneas que pasan por $D$ paralelas a $AB$ y $AC$ se encuentran con las líneas $AC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Las líneas $EF$ y $BC$ se encuentran en $G$ . Demuestre que $AD$ y $DG$ son perpendiculares.

Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que en un $6n$ - gon regular, podemos dibujar $3n$ diagonales con extremos distintos por pares y dividir las diagonales dibujadas en $n$ trillizos de modo que: las diagonales en cada trillizo se intersecan en un punto interior del polígono y todos estos $n$ puntos de intersección son distintos.

Sean $n, b$ y $c$ enteros positivos. Un grupo de $n$ piratas quiere dividir justamente su tesoro. El tesoro consiste en $c \cdot n$ monedas idénticas distribuidas en $b \cdot n$ bolsas, de las cuales al menos $n-1$ bolsas están inicialmente vacías. El Capitán Jack inspecciona el contenido de cada bolsa y luego realiza una secuencia de movimientos. En un movimiento, puede tomar cualquier número de monedas de una sola bolsa y ponerlas en una bolsa vacía. Demuestre que no importa cómo se distribuyan inicialmente las monedas, Jack puede realizar a lo sumo $n-1$ movimientos y luego dividir las bolsas entre los piratas de tal manera que cada pirata obtenga $b$ bolsas y $c$ monedas.

Dado un entero positivo $n$ , decimos que un polinomio $P$ con coeficientes reales es $n$ - bonito si la ecuación $P(\lfloor x \rfloor)=\lfloor P(x) \rfloor$ tiene exactamente $n$ soluciones reales. Demuestre que para cada entero positivo $n$ existe un polinomio n-bonito; cualquier polinomio $n$ - bonito tiene un grado de al menos $\tfrac{2n+1}{3}$ . ( Nota. Para un número real $x$ , denotamos por $\lfloor x \rfloor$ el entero más grande menor o igual a $x$ . )

Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que la desigualdad \[ f(x^2)-f(y^2) \le (f(x)+y)(x-f(y)) \] se cumple para todos los números reales $x$ e $y$ .

Sea $n \ge 3$ un entero. Zagi la ardilla se sienta en un vértice de un $n$ - gon regular. Zagi planea hacer un viaje de $n-1$ saltos de tal manera que en el $i$ - ésimo salto, salta $i$ aristas en el sentido de las agujas del reloj, para $i \in \{1, \ldots,n-1 \}$ . Demuestre que si después de $\lceil \tfrac{n}{2} \rceil$ saltos Zagi ha visitado $\lceil \tfrac{n}{2} \rceil+1$ vértices distintos, entonces después de $n-1$ saltos Zagi habrá visitado todos los vértices. ( Nota. Para un número real $x$ , denotamos por $\lceil x \rceil$ el entero más pequeño mayor o igual a $x$ . )

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $D$ un punto interior del segmento $BC$ . Los puntos $E$ y $F$ se encuentran en el semiplano determinado por la línea $BC$ que contiene a $A$ tal que $DE$ es perpendicular a $BE$ y $DE$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ACD$ , mientras que $DF$ es perpendicular a $CF$ y $DF$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABD$ . Demuestre que los puntos $A, D, E$ y $F$ son concíclicos.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos. Algunos cuadrados de un tablero de $m \times n$ están coloreados de rojo. Una secuencia $a_1, a_2, \ldots , a_{2r}$ de $2r \ge 4$ cuadrados rojos distintos por pares se llama circuito de alfil si para cada $k \in \{1, \ldots , 2r \}$ , los cuadrados $a_k$ y $a_{k+1}$ se encuentran en una diagonal, pero los cuadrados $a_k$ y $a_{k+2}$ no se encuentran en una diagonal (aquí $a_{2r+1}=a_1$ y $a_{2r+2}=a_2$ ) . En términos de $m$ y $n$ , determine el número máximo posible de cuadrados rojos en un tablero de $m \times n$ sin un circuito de alfil. ( Nota. Dos cuadrados se encuentran en una diagonal si la línea que pasa por sus centros interseca los lados del tablero en un ángulo de $45^\circ$ . )

Determine todos los números reales $A$ tales que cada secuencia de números reales no nulos $x_1, x_2, \ldots$ que satisfaga \[ x_{n+1}=A-\frac{1}{x_n} \] para cada entero $n \ge 1$ , tenga solo un número finito de términos negativos.