2008.8 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo inscrito en un círculo. Demuestre que las diagonales $AD, BE$ y $CF$ se intersecan en un punto si y solo si $$\frac{AB}{BC} \cdot \frac{CD}{DE}\cdot \frac{EF}{FA}=1$$

1 Un entero $n$ se denomina apocalíptico si la suma de $6$ divisores positivos distintos de $n$ da como resultado $3528$. Por ejemplo, $2012$ es apocalíptico, porque tiene seis divisores, $1$, $2$, $4$, $503$, $1006$ y $2012$, que suman $3528$. Encuentre el número apocalíptico positivo más pequeño.

2 Encuentre el número de permutaciones de los números $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ del $1$ al $n$ tales que la suma $\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}|a_i-a_{i+1}|$ tenga el valor máximo.

2021.8 Sea $\triangle ABC$ un triángulo con $AB = AC$ y $\angle BAC = 20^{\circ}$. Sea $D$ un punto en el lado $AB$ tal que $\angle BCD = 70^{\circ}$. Sea $E$ un punto en el lado $AC$ tal que $\angle CBE = 60^{\circ}$. Determine el valor del ángulo $\angle CDE$.

2012.10 Sea $O$ un punto interior de un triángulo acutángulo $ABC$. Sean $A_1, B_1$ y $C_1$ las proyecciones de $O$ sobre los lados $BC, AC$ y $AB$ respectivamente. Sea $P$ la intersección de las perpendiculares a $B_1C_1$ y $A_1C_1$ trazadas desde los puntos $A$ y $B$ respectivamente. Sea $H$ la proyección de $P$ sobre $AB$. Demuestre que los puntos $A_1, B_1, C_1$ y $H$ yacen sobre un círculo.

2015.8 Sea $ABCD$ un trapecio, donde $AB$ y $CD$ son paralelos. Sea $P$ un punto en el lado $BC$. Demuestre que las paralelas a $AP$ y $PD$ que pasan por $C$ y $B$ respectivamente, se cortan en $DA$.

3 Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestre la desigualdad \[\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-b)^2}{a+b+c}.\] ¿Cuándo ocurre la igualdad?

2020.7 Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con bases $AD> BC$. Sea $X$ la intersección de las bisectrices de $\angle BAC$ y $BC$. Sea $E$ la intersección de $DB$ con la paralela a la bisectriz de $\angle CBD$ que pasa por $X$, y sea $F$ la intersección de $DC$ con la paralela a la bisectriz de $\angle DCB$ que pasa por $X$. Demuestre que el cuadrilátero $AEFD$ es cíclico.

2018.6 Sea $k$ el incírculo del triángulo $ABC$ con centro en el incentro $I$. El círculo $k$ es tangente a los lados $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$. Sea $G$ la intersección de la recta $AI$ y el círculo $k$, la cual se encuentra entre $A$ e $I$. Suponga que $BE$ y $FG$ son paralelos. Demuestre que $BD = EF$.

4 Sea $n \geq 2$ un entero. Sea $S$ un subconjunto de $\{1,2,\dots,n\}$ tal que $S$ no contiene dos elementos donde uno divide al otro, ni contiene dos elementos que sean coprimos. ¿Cuál es el número máximo posible de elementos de tal conjunto $S$?