Sean $N$ celdas elegidas en una cuadrícula rectangular. Sea $a_i$ el número de celdas elegidas en la fila $i$-ésima, y $b_j$ el número de celdas elegidas en la columna $j$-ésima. Demuestre que $$ \prod_{i} a_i! \cdot \prod_{j} b_j! \leq N! $$

8 En el $\triangle ABC$, el $\angle B$ es obtuso y $AB \ne BC$. Sea $O$ el circuncentro y $\omega$ el circuncírculo de este triángulo. $N$ es el punto medio del arco $ABC$. El circuncírculo del $\triangle BON$ corta a $AC$ en los puntos $X$ e $Y$. Sean $BX \cap \omega = P \ne B$ y $BY \cap \omega = Q \ne B$. Demuestre que $P, Q$ y el reflejo de $N$ con respecto a la recta $AC$ son colineales.

1 Encuentre todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que $a^2+b^2-c^2$ divide a $P(a)+P(b)-P(c)$, para todos los enteros $a,b,c$.

5 igual que los juniors

4 Encuentre el resto cuando $2^{1990}$ se divide por $1990.$

2 Para todos los números reales positivos $ a,b,c$ , demuestre que \[ \frac {a}{b + c} + \frac {b}{c + a} + \frac {c}{a + b} \geq \frac {3}{2}.\]

1 Las longitudes de los lados de un triángulo son las raíces de un polinomio cúbico con coeficientes racionales. Demuestre que las alturas de este triángulo son raíces de un polinomio de sexto grado con coeficientes racionales.

3 Hay siete varillas erigidas en los vértices de un área heptagonal regular. La parte superior de cada varilla está conectada a la parte superior de su segundo vecino mediante un trozo de alambre recto de tal manera que, visto desde arriba, se observa que cada alambre cruza exactamente a otros dos. ¿Es posible establecer las alturas respectivas de las varillas de tal manera que no haya cuatro partes superiores de las varillas que sean coplanares y que cada alambre pase por uno de los cruces por encima y por el otro por debajo? N.T.TUAN

2 Sea $F_{n}$ el $n$-ésimo número de Fibonacci (donde $F_{1}= F_{2}= 1$). Considere las funciones $f_{n}(x)=| . . . ||x|-F_{n}|-F_{n-1}|-...-F_{2}|-F_{1}|$, $g_{n}(x)=| . . . ||x-1|-1|-...-1|$ ($F_{1}+...+F_{n}$ unos). Demuestre que $f_{n}(x) = g_{n}(x)$ para todo número real $x.$ N.T.TUAN

2 Considere todas las sucesiones finitas de números reales positivos cuyos términos son, cada uno, como máximo $3$ y cuya suma es mayor que $100$. Para cada una de estas sucesiones, sea $S$ la suma de la subsecuencia cuya suma es la más cercana a $100$, y defina el defecto de esta sucesión como el valor $|S-100|$. Encuentre el valor máximo posible del defecto.