La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:07 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado un conjunto de 1988 puntos en el plano. No hay cuatro puntos del conjunto que sean colineales. Los puntos de un subconjunto con 1788 puntos están coloreados de azul, los 200 restantes están coloreados de rojo. Demuestre que existe una recta en el plano tal que cada una de las dos partes en las que la recta divide al plano contiene 894 puntos azules y 100 puntos rojos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de noviembre de 2005, 2:25 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $C.$ El punto $P$ está ubicado en el segmento $AC$ tal que los triángulos $PBA$ y $PBC$ tienen círculos inscritos congruentes. Exprese la longitud $x = PC$ en términos de $a = BC, b = CA$ y $c = AB.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 2:20 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 i.) Calcule $x$ si \[ x = \frac{(11 + 6 \cdot \sqrt{2}) \cdot \sqrt{11 - 6 \cdot \sqrt{2}} - (11 - 6 \cdot \sqrt{2}) \cdot \sqrt{11 + 6 \cdot \sqrt{2}}}{(\sqrt{\sqrt{5} + 2} + \sqrt{\sqrt{5} - 2}) - (\sqrt{\sqrt{5}+1})} \] ii.) Para cada número positivo $x,$ sea \[ k = \frac{\left( x + \frac{1}{x} \right)^6 - \left( x^6 + \frac{1}{x^6} \right) - 2}{\left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - \left( x^3 + \frac{1}{x^3} \right)} \] Calcule el valor mínimo de $k.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 2:28 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un número de señales luminosas están igualmente espaciadas a lo largo de una vía férrea de sentido único, etiquetadas en orden $ 1,2, \ldots, N, N \geq 2.$ Como regla de seguridad, a un tren no se le permite pasar una señal si cualquier otro tren está en movimiento en el tramo de vía entre esta y la siguiente señal. Sin embargo, no hay límite para el número de trenes que pueden estar estacionados sin movimiento en una señal, uno detrás del otro. (Suponga que los trenes tienen longitud cero). Una serie de $ K$ trenes de carga deben ser conducidos desde la Señal 1 hasta la Señal $ N.$ Cada tren viaja a una velocidad distinta pero constante en todo momento cuando no está bloqueado por la regla de seguridad. Demuestre que, independientemente del orden en que estén dispuestos los trenes, transcurrirá el mismo tiempo entre la salida del primer tren de la Señal 1 y la llegada del último tren a la Señal $ N.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 2:05 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ \{a_k\}^{\infty}_1$ una sucesión de números reales no negativos tal que: \[ a_k - 2 a_{k + 1} + a_{k + 2} \geq 0 \] y $ \sum^k_{j = 1} a_j \leq 1$ para todo $ k = 1,2, \ldots$ . Demuestre que: \[ 0 \leq a_{k} - a_{k + 1} < \frac {2}{k^2} \] para todo $ k = 1,2, \ldots$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:14 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En el espacio tridimensional se da un punto $O$ y un conjunto finito $A$ de segmentos con una suma de longitudes igual a $1988$. Demuestre que existe un plano disjunto de $A$ tal que la distancia desde él hasta $O$ no excede $574$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de nov. de 2005, 3:04 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre el menor número natural $ n$ tal que, si el conjunto $ \{1,2, \ldots, n\}$ se divide arbitrariamente en dos subconjuntos disjuntos, entonces uno de los subconjuntos contiene 3 números distintos tales que el producto de dos de ellos es igual al tercero. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 12 de sep. de 2008, 7:10 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:12 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para un polígono convexo $P$ en el plano, sea $P'$ el polígono convexo con vértices en los puntos medios de los lados de $P.$ Dado un entero $n \geq 3,$ determine cotas precisas para la razón \[ \frac{\text{área } P'}{\text{área } P}, \] sobre todos los $n$-ágonos convexos $P.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:15 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados los enteros $a_1, \ldots, a_{10},$ demuestre que existe una sucesión no nula $\{x_1, \ldots, x_{10}\}$ tal que todos los $x_i$ pertenecen a $\{-1,0,1\}$ y el número $\sum^{10}_{i=1} x_i \cdot a_i$ es divisible por 1001. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 2:35 PM • 2 Y Y por Adventure10, Adventure10 Sea $g(n)$ definida de la siguiente manera: \[ g(1) = 0, g(2) = 1 \] y \[ g(n+2) = g(n) + g(n+1) + 1, n \geq 1. \] Demuestre que si $n > 5$ es un número primo, entonces $n$ divide a $g(n) \cdot (g(n) + 1).$ Z K Y