La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 2:20 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 i.) Calcule $x$ si \[ x = \frac{(11 + 6 \cdot \sqrt{2}) \cdot \sqrt{11 - 6 \cdot \sqrt{2}} - (11 - 6 \cdot \sqrt{2}) \cdot \sqrt{11 + 6 \cdot \sqrt{2}}}{(\sqrt{\sqrt{5} + 2} + \sqrt{\sqrt{5} - 2}) - (\sqrt{\sqrt{5}+1})} \] ii.) Para cada número positivo $x,$ sea \[ k = \frac{\left( x + \frac{1}{x} \right)^6 - \left( x^6 + \frac{1}{x^6} \right) - 2}{\left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - \left( x^3 + \frac{1}{x^3} \right)} \] Calcule el valor mínimo de $k.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:31 PM • 1 Y Y por Adventure10 Sea $C$ un cubo con aristas de longitud 2. Construya un sólido con catorce caras cortando las ocho esquinas de $C,$ manteniendo las nuevas caras perpendiculares a las diagonales del cubo y manteniendo las caras recién formadas idénticas. Si al concluir este proceso las catorce caras tienen la misma área, encuentre el área de cada cara del nuevo sólido. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:11 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $ S$ es el conjunto de todas las sucesiones $ \{a_i| 1 \leq i \leq 7, a_i = 0 \text{ o } 1\}.$ La distancia entre dos elementos $ \{a_i\}$ y $ \{b_i\}$ de $ S$ se define como \[ \sum^7_{i = 1} |a_i - b_i|. \] $ T$ es un subconjunto de $ S$ en el cual cualesquiera dos elementos tienen una distancia mayor o igual a 3. Demuestre que $ T$ contiene como máximo 16 elementos. Dé un ejemplo de dicho subconjunto con 16 elementos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:07 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado un conjunto de 1988 puntos en el plano. No hay cuatro puntos del conjunto que sean colineales. Los puntos de un subconjunto con 1788 puntos están coloreados de azul, los 200 restantes están coloreados de rojo. Demuestre que existe una recta en el plano tal que cada una de las dos partes en las que la recta divide al plano contiene 894 puntos azules y 100 puntos rojos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:14 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En el espacio tridimensional se da un punto $O$ y un conjunto finito $A$ de segmentos con una suma de longitudes igual a $1988$. Demuestre que existe un plano disjunto de $A$ tal que la distancia desde él hasta $O$ no excede $574$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de nov. de 2005, 3:04 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre el menor número natural $ n$ tal que, si el conjunto $ \{1,2, \ldots, n\}$ se divide arbitrariamente en dos subconjuntos disjuntos, entonces uno de los subconjuntos contiene 3 números distintos tales que el producto de dos de ellos es igual al tercero. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 12 de sep. de 2008, 7:10 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 2:05 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ \{a_k\}^{\infty}_1$ una sucesión de números reales no negativos tal que: \[ a_k - 2 a_{k + 1} + a_{k + 2} \geq 0 \] y $ \sum^k_{j = 1} a_j \leq 1$ para todo $ k = 1,2, \ldots$ . Demuestre que: \[ 0 \leq a_{k} - a_{k + 1} < \frac {2}{k^2} \] para todo $ k = 1,2, \ldots$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:12 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para un polígono convexo $P$ en el plano, sea $P'$ el polígono convexo con vértices en los puntos medios de los lados de $P.$ Dado un entero $n \geq 3,$ determine cotas precisas para la razón \[ \frac{\text{área } P'}{\text{área } P}, \] sobre todos los $n$-ágonos convexos $P.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:15 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados los enteros $a_1, \ldots, a_{10},$ demuestre que existe una sucesión no nula $\{x_1, \ldots, x_{10}\}$ tal que todos los $x_i$ pertenecen a $\{-1,0,1\}$ y el número $\sum^{10}_{i=1} x_i \cdot a_i$ es divisible por 1001. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 2:35 PM • 2 Y Y por Adventure10, Adventure10 Sea $g(n)$ definida de la siguiente manera: \[ g(1) = 0, g(2) = 1 \] y \[ g(n+2) = g(n) + g(n+1) + 1, n \geq 1. \] Demuestre que si $n > 5$ es un número primo, entonces $n$ divide a $g(n) \cdot (g(n) + 1).$ Z K Y