La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathpk 199 publicaciones mathpk #1 h 22 de mar. de 2008, 10:43 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Considere la función $ f: \mathbb{N}_0\to\mathbb{N}_0$ , donde $ \mathbb{N}_0$ es el conjunto de todos los enteros no negativos, definida por las siguientes condiciones: $ (i)$ $ f(0) = 0$ ; $ (ii)$ $ f(2n) = 2f(n)$ y $ (iii)$ $ f(2n + 1) = n + 2f(n)$ para todo $ n\geq 0$ . $ (a)$ Determine los tres conjuntos $ L = \{ n | f(n) < f(n + 1) \}$ , $ E = \{n | f(n) = f(n + 1) \}$ y $ G = \{n | f(n) > f(n + 1) \}$ . $ (b)$ Para cada $ k \geq 0$ , encuentre una fórmula para $ a_k = \max\{f(n) : 0 \leq n \leq 2^k\}$ en términos de $ k$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathpk 199 publicaciones mathpk #1 h 22 de mar. de 2008, 10:35 a. m. • 7 Y Y por Davi-8191, Invincible11, Adventure10, Adventure10, mathematicsy, Rounak_iitr y otro usuario más. Sea $ \Gamma$ el circuncírculo de un triángulo $ ABC$ . Un círculo que pasa por los puntos $ A$ y $ C$ corta a los lados $ BC$ y $ BA$ en $ D$ y $ E$ , respectivamente. Las rectas $ AD$ y $ CE$ cortan a $ \Gamma$ nuevamente en $ G$ y $ H$ , respectivamente. Las rectas tangentes a $ \Gamma$ en $ A$ y $ C$ cortan a la recta $ DE$ en $ L$ y $ M$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $ LH$ y $ MG$ se cortan en $ \Gamma$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 26 de mar. de 2024, 9:26 a. m. • 2 Y Y por DroneChaudhary, mxsail Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que $a(n) = n^5 +5^n$ es divisible por $11$ si y solo si $b(n) = n^5 · 5^n +1$ es divisible por $11$. (Walther Janous) Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 26 de mar. de 2024, 9:31 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathpk 199 publicaciones mathpk #1 h 22 de mar. de 2008, 10:40 a. m. • 6 Y Y por Davi-8191, tenplusten, Adventure10, TFIRSTMGMEDALIST y otros 2 usuarios. Los estudiantes de una clase forman grupos, cada uno de los cuales contiene exactamente tres miembros, de tal manera que cualesquiera dos grupos distintos tienen a lo sumo un miembro en común. Demuestre que, cuando el tamaño de la clase es $ 46$ , existe un conjunto de $ 10$ estudiantes en el cual ningún grupo está contenido propiamente. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de octubre de 2010, 9:46 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(NET 4)$ Un niño tiene un conjunto de trenes y piezas de vía férrea. Cada pieza es un cuarto de círculo y, al concatenar estas piezas, el niño obtuvo una vía férrea cerrada. La vía férrea no se interseca a sí misma. Al pasar por esta vía, el tren a veces va en el sentido de las agujas del reloj y a veces en el sentido opuesto. Demuestre que el tren pasa un número par de veces por las piezas en el sentido de las agujas del reloj y un número par de veces en el sentido contrario a las agujas del reloj. Además, demuestre que el número de piezas es divisible por $4.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:27 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(CZS 4)$ Sean $K_1,\cdots , K_n$ enteros no negativos. Demuestre que $K_1!K_2!\cdots K_n! \ge \left[\frac{K}{n}\right]!^n$ , donde $K = K_1 + \cdots + K_n$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 12:56 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(BEL 2) (a)$ Encuentre las ecuaciones de las hipérbolas equiláteras que pasan por los puntos $A(\alpha, 0), B(\beta, 0)$ y $C(0, \gamma).$ $(b)$ Demuestre que todas estas hipérbolas pasan por el ortocentro $H$ del triángulo $ABC.$ $(c)$ Encuentre el lugar geométrico de los centros de estas hipérbolas. $(d)$ Compruebe si este lugar geométrico coincide con el círculo de los nueve puntos del triángulo $ABC.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. danepale 99 publicaciones danepale #1 h 20 de sep. de 2014, 1:30 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Consideramos disecciones de $n$-gonos regulares en $n - 2$ triángulos mediante $n - 3$ diagonales que no se intersecan dentro del $n$-gono. Una triangulación bicolor es una disección de un $n$-gono en la cual cada triángulo está coloreado de negro o blanco y cualesquiera dos triángulos que comparten una arista tienen colores diferentes. Llamamos a un entero positivo $n \ge 4$ triangulable si todo $n$-gono regular tiene una triangulación bicolor tal que, para cada vértice $A$ del $n$-gono, el número de triángulos negros de los cuales $A$ es un vértice es mayor que el número de triángulos blancos de los cuales $A$ es un vértice. Encuentre todos los números triangulables. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:44 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(GBR 1)$ Se dice que el polinomio $P(x) = a_0x^k + a_1x^{k-1} + \cdots + a_k$, donde $a_0,\cdots, a_k$ son enteros, es divisible por un entero $m$ si $P(x)$ es un múltiplo de $m$ para todo valor entero de $x$. Demuestre que si $P(x)$ es divisible por $m$, entonces $a_0 \cdot k!$ es un múltiplo de $m$. Demuestre también que si $a, k, m$ son enteros positivos tales que $ak!$ es un múltiplo de $m$, entonces se puede encontrar un polinomio $P(x)$ con término principal $ax^k$ que sea divisible por $m.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de octubre de 2010, 3:46 AM • 2 Y Y por megarnie, Adventure10 $(SWE 6)$ Demuestre que existen infinitos enteros positivos que no pueden expresarse como la suma de los cuadrados de tres enteros positivos. Z K Y